複素数の除法

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 複素数の割り算の定跡 — 分母の共役を掛けて実数化する。

$$\frac{1+i}{1-i}\times \frac{1+i}{1+i}=\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i$$

分母は $(1-i)(1+i)=1-i^2=2$ — 共役との積は $|1-i{|}^2$、必ず実数になる。分子を展開して整理すれば $a+bi$ の形が出る。

① 分母の共役をかける。 $1-i$ の共役 $1+i$ を上下に。

$$\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}$$

② 分母を実数化する。 $(1-i)(1+i)=1^2-i^2=1+1=2$。

③ 分子を展開する。 $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$。

$$=\frac{2i}{2}=i$$

まとめ:複素数の割り算は「分母の共役をかけて実数化」。分母が $z\bar{z}=|z{|}^2$(実数)になる。$\frac{1+i}{1-i}$ は $i$ で、これは $90^{\circ }$ 回転にあたる($1+i$ が $1-i$ より偏角が $90^{\circ }$ 大きい)。

発展 — 一歩先へ。 答えが $i$(絶対値 $1$)になったのは、分子・分母の絶対値が等しかったから。一般に $\frac{z}{\bar{z}}$ は必ず単位円上に乗る — この性質は「絶対値が等しい $2$ 複素数の比は回転を表す」として、図形問題(なす角の計算)の基礎になる。

「共役を掛けて実数化」は、数IIの「分母の有理化」($\sqrt{2}$ に $\sqrt{2}$ を掛ける)と同じ発想の複素数版。分母から見えない部分(虚部・根号)を、相方を掛けて消す — 代数の各所で繰り返される、由緒正しい手筋である。

別解

計算する前に、極形式の目で答えを見抜いてみよう。

$1+i$ は絶対値 $\sqrt{2}$・偏角 $45^{\circ }$。$1-i$ は絶対値 $\sqrt{2}$・偏角 $-45^{\circ }$(実軸について鏡写しの $2$ 点だ)。

複素数の商は「絶対値は割り算、偏角は引き算」だから

$$\left|\frac{1+i}{1-i}\right|=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1,\text{偏角}=45^{\circ }-(-45^{\circ })=90^{\circ }$$

絶対値 $1$・偏角 $90^{\circ }$ の複素数 — それは $i$ そのものだ。展開計算と一致する。

「共役で割る」ことの図形的な意味も見える: $\frac{z}{\bar{z}}$ は「$z$ を偏角の $2$ 倍だけ回した単位円上の点」。分数の形を見たら、まず両者の絶対値と偏角を見積もる — 答えの形の予想と検算が、計算より先に手に入る。