1の6乗根

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $z^6=1$ の解は、絶対値 $1$・偏角 $60^{\circ }k$($k=0,\dots ,5$)の $6$ 個だ。

これらは単位円を $6$ 等分した点で、正六角形の頂点をなす。

「$n$ 乗根は単位円の $n$ 等分点、すなわち正 $n$ 角形の頂点」。$1$ の $3$ 乗根を一般化した、この幾何的発想が核になる。

① 解の個数と配置。 $z^6=1$ の解は、絶対値 $1$・偏角 $60^{\circ }k$($k=0,1,\dots ,5$)の $6$ 個。単位円周上を $60^{\circ }$ ずつ回った点で、正六角形の頂点をなす。

② 偏角最小の正の解。 $k=0$ は $1$(偏角 $0$)。次の $k=1$ は偏角 $60^{\circ }$。

$$z=\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$

まとめ:$1$ の $n$ 乗根は「単位円の $n$ 等分点」= 正 $n$ 角形の頂点。$z^6=1$ は $60^{\circ }$ ずつの $6$ 点。ド・モアブルで偏角を $\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }$ 刻みにするだけで全解が出る、美しい構造だ。

発展 — 一歩先へ。 $6$ 個の解のうち、偏角 $60^{\circ }$ の解 $\zeta$ は特別だ。その累乗 $\zeta ,{\zeta }^2,{\zeta }^3,{\zeta }^4,{\zeta }^5,{\zeta }^6$ が、$6$ 解すべてをちょうど $1$ 回ずつ生む。こういう解を原始 $6$ 乗根という。

一方、偏角 $120^{\circ }$ の解を累乗しても $3$ 個($1$ の $3$ 乗根)しか現れず、全体は作れない。偏角 $180^{\circ }$ の解 $-1$ は $2$ 個で一周する。

$n$ 乗根の中で全体を生成できる原始根の個数は、$n$ と互いに素な $1\le k\le n$ の個数に等しい。$6$ なら $k=1,5$ の $2$ 個だ。正多角形の対称性の奥に、整数の掛け算の構造が潜んでいる。

別解

別解 — 因数分解して代数的に解く(苦手な人向けのルート)。 極形式が不安なら、$z^6-1$ を素直に因数分解してもよい。

$$z^6-1=(z^3-1)(z^3+1)=(z-1)(z^2+z+1)(z+1)(z^2-z+1)$$

$1$ 次式から $z=1,-1$。残りは $2$ つの $2$ 次方程式を解く。

$$z^2+z+1=0\Rightarrow z=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2},z^2-z+1=0\Rightarrow z=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$$

これで $6$ 解がそろう。偏角が最小の正の解は、実部も虚部も正のもの、すなわち

$$z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$

(偏角 $60^{\circ }$)。単位円を $6$ 等分する本解と同じ $6$ 解で、最小の正の偏角の解も一致する。因数分解と $2$ 次方程式だけで、極形式を経ずに全解が書ける。