3点が一直線上にある条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 複素数平面で $3$ 点の共線を調べる道具は、差の比

$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$$

($\alpha$ から見た $2$ 方向の比)。この値が実数なら、$2$ 方向は回転のずれがない — 同一直線上だ。

$$\frac{(2+2i)-0}{(1+i)-0}=\frac{2+2i}{1+i}=2$$

実数 $2$ — よって $3$ 点は一直線上にある($\mathrm{C}$ は $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ 方向へ $2$ 倍の位置)。

① 比を計算する。 $\alpha =0$、$\beta =1+i$、$\gamma =2+2i$。

$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{2+2i}{1+i}=\frac{2(1+i)}{1+i}=2$$

② 実数かを確かめる。 $2$ は実数。よって $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ は実数なので、$3$ 点は一直線上にある。

まとめ:複素数平面で $3$ 点が一直線上にあるかは「$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ が実数か」で調べる。この比が実数 = $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ が平行(偏角の差が $0$ か $180^{\circ }$)。ここは比が $2$(実数)で一直線上、$\mathrm{C}$ は $\mathrm{B}$ の $2$ 倍の位置だ。

発展 — 一歩先へ。 差の比のフル活用形が、$4$ 点の円周角の定理の複素数版だ: $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }÷\frac{\gamma -\delta }{\beta -\delta }$(非調和比)が実数 ⟺ $4$ 点が同一円周上(または直線上)。共線条件は、その $\delta \to \infty$ の極限とみなせる — 「直線は半径無限大の円」という射影幾何の視点につながっている。

実数条件の実務的な言い換え $z=\bar{z}$ を使うと、$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\overline{\left(\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }\right)}$ — 共役の計算だけで共線が判定できる。文字のまま論証する問題(垂心・外心の証明)では、この形が主力になる。

別解

「比が実数なら一直線」の理由を、商の幾何的意味から掘っておこう。

複素数の商 $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ の偏角は、$2$ つの差の偏角の差 — つまり点 $\alpha$ から $\beta$ を見る方向と $\gamma$ を見る方向のなす角そのものだ。

• 商が実数(偏角 $0^{\circ }$ か $180^{\circ }$) ⟺ $2$ 方向が同じ向きか正反対 ⟺ 一直線
• 商が純虚数(偏角 $\pm 90^{\circ }$) ⟺ $2$ 方向が直角 ⟺ $\angle \beta \alpha \gamma =90^{\circ }$

今回の商 $2$ は「正の実数」— $\mathrm{C}$ は $\mathrm{B}$ と同じ側にいる($\mathrm{A}$ をはさまない)ことまで読める。ベクトルの言葉なら $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ の実数倍条件と同じことだ。

この「商の偏角 $=$ なす角」は、複素数平面の図形問題の万能メーター。共線(実数)・垂直(純虚数)・正三角形($\pm 60^{\circ }$ 回転)— 位置関係の問いは、差の比を $1$ つ計算して偏角を読む、に集約される。$3$ 点問題を見たら、まずこの比を作る癖をつけたい。