複素数の絶対値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 複素数 $z=3+4i$ を、平面上の点 $(3,4)$ だと思ってみよう。

これが複素数平面の発想だ。

• 実部 $3$ → 横($x$)座標
• 虚部 $4$ → 縦($y$)座標

そして、絶対値 $|z|$ とは、原点からその点までの距離である。

$$|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

三平方の定理そのものだ。

ベクトルの大きさと、まったく同じ計算になる。

$$|(3,4)|=5,|3+4i|=5$$

複素数は、平面のベクトルと同じ顔をもっている。

では、何が違うのか。

複素数どうしは、掛け算ができる。

ベクトルには「掛けて別のベクトルを作る」演算がない(内積は数になってしまう)。

その掛け算が、回転を生む — それが、この単元の主題である。

$$|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

まとめ:複素数 $a+bi$ は複素数平面で点 $(a,b)$。絶対値はその点と原点の距離 $\sqrt{a^2+b^2}$。$3+4i$ は原点から $5$。ベクトルの大きさと同じ考え方だ。

発展 — 一歩先へ。 複素数は、なぜ"数"でありながら、"平面"でもあるのか。

歴史をたどってみよう。

$16$ 世紀、$3$ 次方程式の解の公式が発見された。

そこで、奇妙な現象が起きた。

$x^3=15x+4$ という方程式。 実数解 $x=4$ をもつことは、代入すればすぐ分かる。

ところが、解の公式に当てはめると

$$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$

$\sqrt{-121}$ — 負の数の平方根が出てきてしまう。

「あり得ない数」を経由しないと、正しい実数解($4$)にたどり着けない。

数学者たちは困惑した。 ボンベリは、この $\sqrt{-1}$ を「詭弁的な量」と呼びながら、計算に使った。

そして、確かに答えが合う。

「存在しないはずの数が、正しい答えを導く」

この不気味な事実が、複素数の出発点だった。

デカルトは、これを"想像上の数"(imaginary)と名づけた。 蔑称である。

オイラーが $i$ という記号を導入し($1777$ 年)、ガウスが複素数平面を導入した($1799$ 年)。

ガウスの功績は、決定的だった。

「$a+bi$ を、平面の点 $(a,b)$ と見なせばよい」

この $1$ 行で、複素数は「想像上のもの」から「目に見えるもの」になった。

もはや不気味ではない。 ただの平面の点だ。

そして、この見方から、驚くべき事実が導かれる。

代数学の基本定理(ガウス、$1799$ 年)。

「$n$ 次方程式は、複素数の範囲で、必ず $n$ 個の解をもつ。」

実数の範囲では、$x^2+1=0$ は解をもたない。

だが複素数なら、$x=\pm i$ という $2$ 個の解がある。

どんな方程式も、複素数の中では"完結"する。

これ以上、数を拡張する必要がない。

「複素数は、代数的に閉じている」

負の数($\sqrt{-1}$)を認めたら、$4$ 次方程式のためにさらに新しい数が要るのでは? — と心配する必要はない。

複素数で、すべて足りる。

$|3+4i|=5$ という、素朴な計算。

その背後には、「あり得ない数」を認めた瞬間に、数の世界が完全になったという、数学史上最大の逆説がある。

別解

図を使わず、共役との積($z\bar{z}$)から絶対値を出す。

複素数には、こんな公式がある。

$$z\bar{z}=|z{|}^2$$

「自分自身と、その共役を掛けると、絶対値の $2$ 乗になる。」

確かめよう。 $z=3+4i$、$\bar{z}=3-4i$。

$$z\bar{z}=(3+4i)(3-4i)$$

和と差の積の公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を使う。

$$=3^2-(4i{)}^2=9-16i^2$$

ここで $i^2=-1$ だから

$$=9-16\times (-1)=9+16=25$$

$25$ という実数になった。

虚数単位が、きれいに消える。

$$|z{|}^2=25⟹|z|=5$$

($|z|\geqq 0$ なので、正のほうを取る。)

本解と同じ答え ✓

この方法の何がすごいのか。

「図形(距離)の問題を、代数(掛け算)で解いた」

三平方の定理を使っていない。 ただ、$i^2=-1$ という規則に従って計算しただけだ。

そして、$z\bar{z}$ が必ず実数になるという事実は、極めて重要である。

一般に $z=a+bi$ なら

$$z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi{)}^2=a^2+b^2$$

確かに実数、しかも $0$ 以上。 そして、これは $|z{|}^2$ にほかならない。

この公式が、分数の計算を可能にする。

複素数で割り算をするとき、分母を実数にしたい。

$$\frac{1}{3+4i}=\frac{1}{3+4i}\times \frac{3-4i}{3-4i}=\frac{3-4i}{25}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$$

分母・分子に共役を掛けると、分母が実数になる。

「有理化」の複素数版だ。

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{と同じ発想}$$

根号を消すために共役($\sqrt{2}$)を掛けたように、虚数を消すために共役($3-4i$)を掛ける。

さらに、この公式から、絶対値の性質も導ける。

$$|zw{|}^2=(zw)\overline{(zw)}=z\bar{z}w\bar{w}=|z{|}^2|w{|}^2$$

$$\boxed{|zw|=|z||w|}$$

「積の絶対値は、絶対値の積」

これは、次に学ぶ「掛け算で長さが掛け算される」という性質の、代数的な証明になっている。

図形的な事実が、$i^2=-1$ という $1$ 行の規則から、すべて導かれるのだ。