余弦の無限級数(等比級数の実部)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{\cos n\theta }{2^n}$ の和は、$\cos n\theta$ を複素数の実部とみると等比級数になる。

$\cos n\theta =\mathrm{Re}(e^{i\theta }{)}^n$ だから、$\frac{\cos n\theta }{2^n}=\mathrm{Re}{\left(\frac{e^{i\theta }}{2}\right)}^n$。公比 $w=\frac{e^{i\theta }}{2}$($|w|=\frac{1}{2}<1$)の無限等比級数だ。

$\sum _{n=1}^{\infty }{w}^n=\frac{w}{1-w}$ を計算して実部をとる。分母を実数化すれば $\frac{2\cos \theta -1}{5-4\cos \theta }$ が出る。

① 複素数の級数にする。 $w=\frac{e^{i\theta }}{2}=\frac{\cos \theta +i\sin \theta }{2}$ とおくと $\frac{\cos n\theta }{2^n}=\mathrm{Re}{w}^n$。$|w|=\frac{1}{2}<1$ だから $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos n\theta }{2^n}=\mathrm{Re}\sum _{n=1}^{\infty }{w}^n=\mathrm{Re}\frac{w}{1-w}.$$ ② 実部を計算する。 分母を実数化するため分母の共役を掛ける。$|1-w{|}^2=1-2\mathrm{Re}w+|w{|}^2=1-2\cdot \frac{\cos \theta }{2}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}-\cos \theta$。分子は $w(1-\overline{w})=w-|w{|}^2$、その実部は $\mathrm{Re}w-|w{|}^2=\frac{\cos \theta }{2}-\frac{1}{4}$。よって $$\mathrm{Re}\frac{w}{1-w}=\frac{\frac{\cos \theta }{2}-\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}-\cos \theta }=\frac{2\cos \theta -1}{5-4\cos \theta }.$$

③ 結論。 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos n\theta }{2^n}=\frac{2\cos \theta -1}{5-4\cos \theta }$。

まとめ 三角関数の級数は、複素数の等比級数の実部として一気に和をとるのが定石。$\frac{w}{1-w}$ を実数化して実部を拾うと $\frac{2\cos \theta -1}{5-4\cos \theta }$。複素数・無限等比級数・三角の融合。

発展 — 一歩先へ。 虚部をとれば $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin n\theta }{2^n}=\frac{2\sin \theta }{5-4\cos \theta }$ も同時に出る。公比を $r$ に一般化すると $\sum r^n\cos n\theta =\frac{r\cos \theta -r^2}{1-2r\cos \theta +r^2}$(ポアソン核の親戚)。フーリエ級数や、円板上の調和関数(ラプラス方程式の解)の理論で中心的な役割を果たす。

別解

別解 — 実数のまま漸化式で和を出す(苦手な人向け)。 複素数を使わず、和 $C=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos n\theta }{2^n}$ と $S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin n\theta }{2^n}$ を連立で求める。

積和(または加法定理)から、$\cos (n+1)\theta =2\cos \theta \cos n\theta -\cos (n-1)\theta$ のような関係を使うと、$C$ が自分自身を含む式に落ちる。具体的には、$2C$ を作って $\cos 1\theta$ の項をずらすと

$$C=\frac{\frac{\cos \theta }{2}}{\text{(整理)}}⟶C=\frac{2\cos \theta -1}{5-4\cos \theta }.$$

分母の $5-4\cos \theta$ は $|1-w{|}^2={\left|1-\frac{e^{i\theta }}{2}\right|}^2=1-\cos \theta +\frac{1}{4}=\frac{5-4\cos \theta }{4}$ から来ている。

複素数の等比級数(本解)は一直線だが、実数の連立でも同じ $\frac{2\cos \theta -1}{5-4\cos \theta }$ に着く。ついでに虚部の和 $S=\frac{2\sin \theta }{5-4\cos \theta }$ も同時に手に入る。