数学C / 複素数平面

余弦の偶数乗の積分(複素数と二項定理)

実戦編複素数二項定理定積分三角関数単元横断

問題

$n$ を自然数とする。 $\int_{0}^{2 π} cos^{2 n} θ d θ$ を求めよ。

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$cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}$ を $2 n$ 乗して二項展開。 $\int_{0}^{2 π} e^{ik θ} d θ$ は $k \neq = 0$ でゼロ。指数が $0$ になる項だけ残る。

解答・解説

方針

$cos θ$ を指数関数で表して $(e^{i θ} + e^{- i θ})^{2 n}$ を二項展開。 $\int_{0}^{2 π} e^{ik θ} d θ$ は $k = 0$ のとき $2 π$ 、他は $0$ 。生き残るのは指数が打ち消す中央の項。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $cos^{2 n} θ$ を積分するには、まず指数関数に開くのが定石。 $cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}$ を $2 n$ 乗して二項展開する。

展開すると $e^{ik θ}$ ( $k$ は $- 2 n$ から $2 n$ の偶数)の和になる。ここで $\int_{0}^{2 π} e^{ik θ} d θ$ は、 $k = 0$ のとき $2 π$ 、それ以外は $0$ 。

だから生き残るのは、指数が打ち消し合う中央の項( $e^{in θ} \cdot e^{- in θ}$ の組)だけ。その二項係数 $(n 2 n)$ が答えを決める。

定理

\int_{0}^{2 π} e^{ik θ} d θ = {2 π 0 (k = 0) (k \neq = 0, k \in Z)

① 指数関数で二項展開。 $cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}$ より $cos^{2 n} θ = \frac{1}{4 ^{n}} (e^{i θ} + e^{- i θ})^{2 n} = \frac{1}{4 ^{n}} k = 0 \sum 2 n (k 2 n) e^{i (2 n - k) θ} e^{- ik θ} = \frac{1}{4 ^{n}} k = 0 \sum 2 n (k 2 n) e^{i (2 n - 2 k) θ} .$ ② 積分して生き残る項。 各項を $0$ から $2 π$ まで積分すると、指数 $2 n - 2 k = 0$ 、すなわち $k = n$ の項だけが $2 π$ を残し、他は $0$ 。よって $\int_{0}^{2 π} cos^{2 n} θ d θ = \frac{1}{4 ^{n}} (n 2 n) \cdot 2 π .$ ③ 結論。 $\int_{0}^{2 π} cos^{2 n} θ d θ = \frac{2 π}{4 ^{n}} (n 2 n)$ 。

まとめ 三角関数の偶数乗の積分は、指数関数に直して二項展開し、 $\int e^{ik θ}$ が $k = 0$ 以外で消えることを使うと、中央の二項係数だけが残る。答えは $\frac{2 π}{4 ^{n}} (n 2 n)$ 。複素数・二項定理・積分の融合。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} cos^{2 n} θ d θ = \frac{1}{4 ^{n}} (n 2 n)$ は、 $\pm 1$ を等確率でとる $2 n$ 回の歩みが原点に戻る確率(ランダムウォークの再帰確率)にも等しい。積分・二項係数・確率が同じ数を指す。 $n \to \infty$ では $\frac{1}{π n}$ 程度で $0$ に近づく(スターリング)。

答

$cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}$ を二項展開し、 $\int_{0}^{2 π} e^{ik θ} d θ = 0 (k \neq = 0)$ で中央項だけ残り、 $\frac{2 π}{4 ^{n}} (n 2 n)$ 。

別解

別解 — ウォリスの積分に帰着させる(得意な人向けの視点)。 $\int_{0}^{2 π} cos^{2 n} θ d θ$ は、対称性から $\int_{0}^{π /2} cos^{2 n} θ d θ$ (ウォリスの積分)の $4$ 倍。

ウォリスの公式で $\int_{0}^{π /2} cos^{2 n} θ d θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{( 2 n - 1 )!!}{( 2 n )!!}$ 。 $4$ 倍すると

$\int_{0}^{2 π} cos^{2 n} θ d θ = 2 π \cdot \frac{( 2 n - 1 )!!}{( 2 n )!!} .$

この $\frac{( 2 n - 1 )!!}{( 2 n )!!}$ は、中心二項係数を使うと $\frac{1}{4 ^{n}} (n 2 n)$ に等しい( $n = 3$ なら $\frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{5}{16} = \frac{1}{64} \cdot 20$ )。だから

$\int_{0}^{2 π} cos^{2 n} θ d θ = \frac{2 π}{4 ^{n}} (n 2 n) .$

複素数の二項展開(本解)が中央項を拾うのと、実数のウォリス公式は同じ値の別表現。二項係数 $(n 2 n)$ と $!!$ の関係を通して、離散(組合せ)と連続(積分)がつながっている。

ポイント

$cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}$ で指数関数に直す。
$\int_{0}^{2 π} e^{ik θ} d θ$ は $k = 0$ で $2 π$ 、他は $0$ 。
生き残るのは中央項、答えは $\frac{2 π}{4 ^{n}} (n 2 n)$ 。

よくある間違い

$(\frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2})^{2 n}$ の $\frac{1}{2 ^{2 n}} = \frac{1}{4 ^{n}}$ を落とす。
$\int_{0}^{2 π} e^{ik θ} d θ$ を $k \neq = 0$ でも $0$ でないとする(1周期の積分は $0$ )。
生き残る中央項の二項係数を $(n 2 n)$ でなく別の項と取り違える(指数が $0$ になるのは $e^{in θ} e^{- in θ}$ 、係数 $(n 2 n)$ )。