正三角形をなす第3の頂点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\alpha ,\beta ,\gamma$ が正三角形なら、$\gamma$ は「$\beta$ を $\alpha$ のまわりに $\pm 60°$ 回転した点」。

辺 $\alpha \beta$ を $\alpha$ を軸に $60°$ 回すと、辺 $\alpha \gamma$ になる(正三角形の内角 $60°$)。

回転の向きが $2$ 通りあるので、$\gamma$ も $2$ つ。

回転の公式に当てはめる、と見通す。

① 回転の公式。 $\beta -\alpha =(1+i)-1=i$。$\gamma =\alpha +(\beta -\alpha )(\cos (\pm 60°)+i\sin (\pm 60°))$。$\cos 60°=\frac{1}{2}$、$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

② $+60°$ の場合。

$$\gamma =1+i\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{3}}{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

③ $-60°$ の場合。

$$\gamma =1+i\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\frac{1}{2}i+\frac{\sqrt{3}}{2}=1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

よって $\gamma =1-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ または $1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$。

まとめ:正三角形の第 $3$ 頂点は「$\pm 60°$ 回転」。$\gamma =\alpha +(\beta -\alpha )(\cos (\pm 60°)+i\sin (\pm 60°))$ で $2$ 通り。$\beta -\alpha =i$ に $\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ を掛けるとき、$i\cdot i=-1$ で実部が動くのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 正三角形の第 $3$ 頂点が $2$ つあるのは、辺 $\alpha \beta$ の左右どちらにも三角形が作れるから。$+60°$ と $-60°$ の回転が、その $2$ つに対応する。

回転を使わずとも、幾何で捉えられる。第 $3$ 頂点は、辺 $\alpha \beta$ の中点から、辺に垂直な向きに高さ $\frac{\sqrt{3}}{2}|\alpha \beta |$ だけ進んだ点。中点の左右に $1$ つずつだ。

正三角形の条件は、複素数では ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$ とも書ける(向きによらない対称な形)。回転・中点・対称式、どの見方でも同じ $2$ 点に行き着く。

別解

別解 — 中点から垂直に高さ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 進む(得意な人向けの視点)。 回転の公式を使わず、正三角形の高さから直接、第 $3$ 頂点を出せる。

$\alpha =1$ は点 $(1,0)$、$\beta =1+i$ は点 $(1,1)$。辺 $\alpha \beta$ は縦向きの線分で、長さ $|\alpha \beta |=1$。その中点は $(1,\frac{1}{2})$。

正三角形の第 $3$ 頂点は、この中点から辺に垂直な向き(いまは横向き)に、高さ $\frac{\sqrt{3}}{2}|\alpha \beta |=\frac{\sqrt{3}}{2}$ だけ進んだ点。左右に $1$ つずつあるので

$$\left(1\pm \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right),\text{すなわち}\gamma =1\pm \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i.$$

$\pm 60°$ 回転で出す本解と同じ $2$ 点。正三角形の「中点からの高さ $\frac{\sqrt{3}}{2}\times$ 辺」を使うと、回転の計算をせずに座標が書ける。辺が縦なら垂直は横、と向きが読めるのがこの見方の利点だ。