数学C / 複素数平面

単位円に内接する三角形の垂心(複素数と幾何)

実戦編複素数幾何垂心内積単元横断

問題

複素数平面上で $∣ α ∣ = ∣ β ∣ = ∣ γ ∣ = 1$ とする(三角形の3頂点が単位円上)。このとき、三角形の垂心が $H = α + β + γ$ で表されることを示せ。

ヒントを見る

垂心は各頂点から対辺に下ろした垂線の交点。 $H = α + β + γ$ と予想し、 $H - α$ と辺 $β - γ$ が垂直(比が純虚数)を、 $∣ β ∣ = ∣ γ ∣ = 1$ を使って示す。

解答・解説

方針

$H = α + β + γ$ が各頂点から対辺への垂線上にあることを、 $\frac{H - α}{β - γ}$ が純虚数(=直交)であることで示す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 頂点が単位円上( $∣ α ∣ = ∣ β ∣ = ∣ γ ∣ = 1$ )というのが最大のヒント。外心が原点になる、いちばん扱いやすい配置だ。

$H = α + β + γ$ と“予想”して、それが垂心である( $AH ⊥ BC$ など)ことを確かめる。

垂直は「複素数の比が純虚数」で表せる。 $\frac{H - α}{β - γ} = \frac{β + γ}{β - γ}$ が純虚数であることを、 $∣ β ∣ = ∣ γ ∣ = 1$ ( $β \overline{β} = γ \overline{γ} = 1$ )を使って示す。

重要複素数で

P Q ⊥ R S ⟺ \frac{q - p}{s - r}

が純虚数(

⟺

その値

+

共役

= 0

)

① $AH ⊥ BC$ を示す。 $H = α + β + γ$ とおくと $H - α = β + γ$ 。辺 $BC$ は $β - γ$ 。比を作ると $w = \frac{H - α}{β - γ} = \frac{β + γ}{β - γ} .$ これが純虚数、すなわち $w + \overset{w}{ˉ} = 0$ を示す。 $∣ β ∣ = ∣ γ ∣ = 1$ より $\overset{ˉ}{β} = \frac{1}{β}, \overset{γ}{ˉ} = \frac{1}{γ}$ だから $\overset{w}{ˉ} = \frac{β ˉ + γ ˉ}{β ˉ - γ ˉ} = \frac{\frac{1}{β} + \frac{1}{γ}}{\frac{1}{β} - \frac{1}{γ}} = \frac{γ + β}{γ - β} = - \frac{β + γ}{β - γ} = - w .$ よって $w + \overset{w}{ˉ} = 0$ 、 $w$ は純虚数。ゆえに $AH ⊥ BC$ 。

外接円が単位円のとき、三角形 ABC の垂心 H は α+β+γ。各頂点から対辺への垂線が H で交わる。

② 他の頂点も同様。 まったく同じ計算で $\frac{H - β}{γ - α}, \frac{H - γ}{α - β}$ も純虚数。よって $BH ⊥ CA$ 、 $CH ⊥ AB$ 。

③ 結論。 $H$ は $3$ 頂点から対辺への垂線すべての上にあるから、三角形の垂心。したがって垂心は $α + β + γ$ 。

まとめ 「垂直 $⟺$ 比が純虚数」を使うと、 $H = α + β + γ$ が全垂線上にあることが円上条件 $\overset{ˉ}{β} = 1/ β$ から一瞬で出る。連立不要で垂心が求まる。複素数の絶対値条件と幾何の融合。

発展 — 一歩先へ。 外心を原点にとると、重心 $G = \frac{α + β + γ}{3}$ 、垂心 $H = α + β + γ$ 、九点円の中心 $\frac{α + β + γ}{2}$ が、すべて頂点の和の定数倍で書ける。オイラー線上にこれらが $O : G : \dots : H$ ときれいな比で並ぶ。複素数は、三角形の五心の関係を計算だけで暴く強力な道具だ。

答

$H = α + β + γ$ とおくと $\frac{H - α}{β - γ} = \frac{β + γ}{β - γ}$ が純虚数(∵ $∣ β ∣ = ∣ γ ∣ = 1$ )なので $AH ⊥ BC$ 。同様に他の2つも垂直で、H は垂心。

別解

別解 — オイラー線(外心・重心・垂心)で一望する(得意な人向けの高い視点)。 $3$ 頂点が単位円上なので、外心は原点 $O = 0$ 。重心は $G = \frac{α + β + γ}{3}$ 。

三角形には「外心 $O$ 、重心 $G$ 、垂心 $H$ が一直線(オイラー線)に並び、 $OH = 3 OG$ 」という定理がある。 $O = 0$ を使うと

$H = 3 G = 3 \cdot \frac{α + β + γ}{3} = α + β + γ .$

垂心が頂点の和になる、という本問の結論が、オイラー線の関係 $H = 3 G$ と外心が原点という設定から一発で出る。

各頂点で垂直を確かめる(本解)のは定義に忠実だが、オイラー線を知っていると「外心を原点にとれば $H = α + β + γ$ 」と暗記でき、複素数で三角形の五心を扱う際の基本形になる。

ポイント

外接円を単位円( $∣ α ∣ = ∣ β ∣ = ∣ γ ∣ = 1$ )にとるのがカギ。
垂直 $⟺$ 比が純虚数( $w + \overset{w}{ˉ} = 0$ )を使う。
$\overset{ˉ}{β} = 1/ β$ で $\frac{β + γ}{β - γ}$ が純虚数、H=α+β+γ は垂心。

よくある間違い

$\frac{H - α}{β - γ}$ が純虚数( $=$ 垂直)であることを、 $∣ β ∣ = ∣ γ ∣ = 1$ (すなわち $\overline{β} = \frac{1}{β}$ )を使って示せない。
純虚数の条件( $z + \overline{z} = 0$ )を実部 $= 0$ でなく別の条件と取り違える。
$1$ 頂点で垂直を示しただけで終える( $3$ 頂点、または対称性で $2$ 本の垂線が $H$ を通ることを言う)。