数学C / 複素数平面

複素数と軌跡(垂直二等分線)

★★★ 応用軌跡

問題

$∣ z - 1∣ = ∣ z + 1∣$ を満たす点 $z$ は、複素数平面上でどのような図形を描くか。

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$∣ z - 1∣$ と $∣ z + 1∣$ をそれぞれ『どの点からの距離』と読むか。距離が等しい点の集まりが何になるかは、図形の言葉で知っているはず。

解答・解説

$∣ z - 1∣ = ∣ z + 1∣$ は「 $2$ 点 $1$ 、 $- 1$ から等距離」の点の集まり = $2$ 点を結ぶ線分の垂直二等分線。 $1$ と $- 1$ の中点は原点で、線分は実軸上なので、垂直二等分線は虚軸。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $∣ z - 1∣$ は点 $1$ からの距離、 $∣ z + 1∣$ は点 $- 1$ からの距離だ。 $∣ z - 1∣ = ∣ z + 1∣$ は「 $2$ 点 $1, - 1$ から等距離の点」を表す。

$2$ 点から等距離の点の集まりは、その $2$ 点を結ぶ線分の垂直二等分線。ここでは虚軸になる。

「絶対値が等しい式は、 $2$ 点から等距離=垂直二等分線」。円になる場合と対をなす、軌跡の発想だ。

重要

∣ z - α ∣ = ∣ z - β ∣

は、

2

点

α, β

を結ぶ線分の垂直二等分線(

2

点から等距離)

① 意味を読む。 $∣ z - 1∣$ は点 $1$ からの距離、 $∣ z + 1∣ = ∣ z - (- 1) ∣$ は点 $- 1$ からの距離。これらが等しい = $2$ 点 $1$ 、 $- 1$ から等距離の点。

② 図形を決める。 $2$ 点から等距離の点の集まりは、その $2$ 点を結ぶ線分の垂直二等分線。 $1$ と $- 1$ ( $= (1, 0)$ と $(- 1, 0)$ )を結ぶ線分は実軸上、中点は原点。その垂直二等分線は原点を通り実軸に垂直な直線 = 虚軸。

(確認: $z = y i$ とおくと $∣ y i - 1∣ = 1 + y^{2} = ∣ y i + 1∣$ で成立。実部 $0$ の点全体。)

|z−1|=|z+1| は2点 1, −1 から等距離 → 虚軸(x=0)

まとめ: $∣ z - α ∣ = ∣ z - β ∣$ は「 $2$ 点から等距離 = 垂直二等分線」。 $1$ と $- 1$ の垂直二等分線は虚軸(実部 $0$ )。複素数の絶対値が距離を表すので、図形の条件がそのまま式になる。

発展 — 一歩先へ。 $∣ z - α ∣ = ∣ z - β ∣$ ( $2$ 点から等距離)は、直線(垂直二等分線)だった。では点をもう $1$ つ足して、 $∣ z - α ∣ = ∣ z - β ∣ = ∣ z - γ ∣$ ( $3$ 点から等距離)にするとどうなるか。

それは $2$ 本の垂直二等分線の交わりで、ふつうただ $1$ 点に定まる。三角形 $α β γ$ の外心だ。等距離という制約を重ねるほど、解の図形は平面から直線へ、直線から点へと縮んでいく。

複素数の絶対値が距離をそのまま表すおかげで、外心のような三角形の中心も、距離の等式だけで捉えられる。条件 $1$ 本なら直線、 $2$ 本なら点、という次元の落ち方が見どころだ。

答

虚軸(実部が0の点全体、 $2$ 点 $1$ と $- 1$ の垂直二等分線)

別解 — $z = x + y i$ で計算して $x = 0$ を導く(苦手な人向けのルート)。 垂直二等分線という図形を思い出さなくても、座標に直せば直接出る。

$z = x + y i$ とおき、両辺を $2$ 乗する。

$∣ z - 1 ∣^{2} = (x - 1)^{2} + y^{2}, ∣ z + 1 ∣^{2} = (x + 1)^{2} + y^{2}$

これらを等しいとおくと、 $y^{2}$ が両辺で消えて

$(x - 1)^{2} = (x + 1)^{2}$

展開すると $x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} + 2 x + 1$ 、つまり $- 2 x = 2 x$ で $x = 0$ 。

実部が $0$ の点全体、すなわち虚軸。図形の性質を使う本解と同じ結論だ。「 $2$ 乗して引く」と $y$ が自動的に消え、 $x = 0$ という直線の式が残るのが計算ルートの見どころだ。