z³=8i を解く

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $z^3=8i$ は「$3$ 乗根を求める」問題。$z$ を極形式 $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ とおくのが定石。

右辺 $8i$ も極形式にする。

絶対値どうし($r^3=8$)、偏角どうし($3\theta =\frac{\pi }{2}+2k\pi$)を比べる。

偏角に $2k\pi$ の周期を入れて $k=0,1,2$ とすると、$3$ 個の解が出る、と見通す。

① 右辺を極形式に。 $8i=8\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$。

② 絶対値と偏角。 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ とおくと $r^3=8$ より $r=2$。偏角は

$$3\theta =\frac{\pi }{2}+2k\pi ⟹\theta =\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}(k=0,1,2)$$

③ 各解を求める。

• $k=0$:$\theta =\frac{\pi }{6}$、$z=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}+i$。
• $k=1$:$\theta =\frac{\pi }{6}+\frac{2\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}$、$z=2\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}+i$。
• $k=2$:$\theta =\frac{\pi }{6}+\frac{4\pi }{3}=\frac{3\pi }{2}$、$z=2\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)=-2i$。

まとめ:$z^n=\alpha$ は「極形式で絶対値と偏角を比較」。$r=2$、偏角は $\frac{\pi }{6}$ から $\frac{2\pi }{3}$ ずつ増える $3$ 個。$3$ 解は半径 $2$ の円周を $3$ 等分した位置(正三角形の頂点)に並ぶ。

発展 — 一歩先へ。 $z^n=\alpha$ の解は、半径 $\sqrt[n]{|\alpha |}$ の円周を $n$ 等分した位置、つまり正 $n$ 角形の頂点に並ぶ。$3$ 乗根なら正三角形、$5$ 乗根なら正五角形だ。

だから $1$ つ根が見つかれば、残りは「$1$ の $n$ 乗根を掛ける」だけで得られる。$1$ の $3$ 乗根 $\omega =\cos 120°+i\sin 120°$ を掛けると、$120°$ ずつ回った次の頂点になる。

$n\ge 2$ なら、これら $n$ 個の解の和はつねに $0$(重心が中心)。$n$ 乗根の幾何は、正多角形の対称性そのものだ。

別解

別解 — $1$ つの根に $1$ の $3$ 乗根を掛ける(得意な人向けの視点)。 $3$ 個の偏角を別々に計算しなくても、$1$ つ根を見つければ、残りは回転で出せる。

まず $k=0$ の根 $z_0=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}+i$ を求める。

$3$ 乗根は正三角形の頂点に並ぶので、$z_0$ を $120°$ ずつ回せば残り $2$ つ。$1$ の $3$ 乗根 $\omega =\cos 120°+i\sin 120°=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ を掛ける。

$$z_0\omega =(\sqrt{3}+i)\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\sqrt{3}+i,z_0{\omega }^2=(-\sqrt{3}+i)\omega =-2i.$$

($z_0$ の偏角 $30°$ に $120°,240°$ を足すと $150°,270°$ になり、それぞれ $-\sqrt{3}+i$、$-2i$。)

$k=0,1,2$ の偏角を順に計算する本解と同じ $3$ 解。「$1$ つ求めて $\omega$ を掛ける」と、偏角を毎回足す手間が省ける。正三角形の対称性を使った近道だ。