共役複素数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 共役複素数とは、虚部の符号だけを変えたものだ。

$$z=2+3i⟹\bar{z}=2-3i$$

実部($2$)はそのまま。虚部の符号だけ、$+3$ から $-3$ へ。

この操作を、複素数平面で見ると?

点 $(2,3)$ が、点 $(2,-3)$ に移る。

$x$ 座標はそのまま、$y$ 座標だけ符号が反転する。

これは、実軸($x$ 軸)に関する鏡映だ。

共役をとる $=$ 実軸で折り返す。

この幾何的な意味を掴んでおくと、共役の性質がすべて見えてくる。

• $|z|=|\bar{z}|$ — 鏡に映しても、原点からの距離は同じ
• $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z$ — $2$ 回折り返せば、元に戻る
• $z$ が実数 $⟺$ $z=\bar{z}$ — 実軸上の点は、折り返しても動かない

すべて、鏡映の性質そのものである。

$$\bar{z}=\overline{2+3i}=2-3i$$

まとめ:共役複素数は虚部の符号を反転したもの。複素数平面では実軸(横軸)に関して対称な点にうつる。$z=2+3i$ の点 $(2,3)$ に対し、$\bar{z}=2-3i$ は点 $(2,-3)$。$z\bar{z}=|z{|}^2$ という大事な性質もある。

発展 — 一歩先へ。 「虚数解は、必ず共役なペアで現れる」

この事実を、証明してみよう。

実数係数の方程式

$$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0=0(a_i\text{ はすべて実数})$$

が、$\alpha$ を解にもつとする。

$$a_n{\alpha }^n+\cdots +a_0=0$$

両辺の共役をとる。

$$\overline{a_n{\alpha }^n+\cdots +a_0}=\bar{0}=0$$

共役は、和と積を素通りする。

$$\overline{a_n}\overline{{\alpha }^n}+\cdots +\overline{a_0}=0$$

係数 $a_i$ は実数だから、$\overline{a_i}=a_i$。

$$a_n{\bar{\alpha }}^n+\cdots +a_0=0$$

これは、「$\bar{\alpha }$ も方程式の解である」ということだ! $■$

証明終わり。$3$ 行だ。

この定理の帰結。

「実数係数の $3$ 次方程式は、必ず実数解をもつ。」

なぜか。 解は $3$ 個ある(代数学の基本定理)。虚数解は共役なペアで現れる($2$ 個 $1$ 組)。

$3$ は奇数だから、$2$ で割り切れない。 必ず $1$ つは、ペアを作れない解 — つまり実数解が残る。

$3$ 次関数のグラフが、必ず $x$ 軸と交わることの、代数的な説明だ。

そして、この「共役対称性」は、物理学でも決定的な役割を果たす。

量子力学では、波動関数 $\psi$ は複素数の値をとる。

だが、観測できる量(確率密度)は、実数でなければならない。

どうするか。

$$|\psi {|}^2=\psi \bar{\psi }$$

共役との積をとる。 これは必ず実数になる(そして $0$ 以上)。

「複素数で計算し、共役との積で実数に戻す」

この手続きが、量子力学の観測理論の根幹をなしている。

電気工学でも同じだ。

交流回路の計算は、複素数(インピーダンス)で行う。 計算が圧倒的に楽になるからだ。

そして、最後に実部を取り出す — あるいは、共役との積で電力(実数)を求める。

$$P=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(V\bar{I}\right)$$

「複素数で計算し、実数で答える」

共役は、複素数の世界と、実数の世界を行き来する"扉"なのである。

$\bar{z}=2-3i$ — 符号を $1$ つ変えるだけの操作。

それが、実数への帰還を保証している。

別解

共役は「実部と虚部を取り出す道具」である。

$z$ と $\bar{z}$ を、足したり引いたりしてみよう。

足す。

$$z+\bar{z}=(2+3i)+(2-3i)=4$$

虚部が消えて、実数になった!

しかも、$4=2\times 2$ — 実部の $2$ 倍だ。

$$z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$$

引く。

$$z-\bar{z}=(2+3i)-(2-3i)=6i$$

実部が消えて、純虚数になった。

$6=2\times 3$ — 虚部の $2$ 倍だ。

$$z-\bar{z}=2i\mathrm{Im}(z)$$

掛ける。

$$z\bar{z}=(2+3i)(2-3i)=4+9=13$$

これは $|z{|}^2$ だ。

$3$ つの演算が、$3$ つの重要な量を取り出す。

$$\text{実部}=\frac{z+\bar{z}}{2},\text{虚部}=\frac{z-\bar{z}}{2i},|z{|}^2=z\bar{z}$$

「共役は、複素数を分解する道具」なのだ。

この道具の使い道は、条件の言い換えにある。

「$z$ が実数」という条件を、式で書きたい。

$$z\text{ が実数}⟺\text{虚部}=0⟺z-\bar{z}=0⟺\boxed{z=\bar{z}}$$

「$z$ が純虚数」なら?

$$z\text{ が純虚数}⟺\text{実部}=0\text{かつ}z\ne 0⟺\boxed{z+\bar{z}=0,z\ne 0}$$

この $2$ つの言い換えが、複素数の問題で繰り返し使われる。

なぜ、わざわざ言い換えるのか。

$z=a+bi$ と成分で書くと、未知数が $2$ つ($a$ と $b$)になる。

だが $z$ と $\bar{z}$ で書けば、$z$ という $1$ つの文字で処理できる。

計算量が、劇的に減るのだ。

そして、共役には"分配法則"がある。

$$\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w},\overline{zw}=\bar{z}\bar{w},\overline{z^n}={\left(\bar{z}\right)}^n$$

「共役をとる」という操作は、四則演算を素通りする。

確かめよう。 $z=2+3i$、$w=1-2i$。

$$zw=(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i+6=8-i$$ $$\overline{zw}=8+i$$

$$\bar{z}\bar{w}=(2-3i)(1+2i)=2+4i-3i+6=8+i✓$$

一致した。

この性質から、有名な事実が導かれる。

「実数係数の方程式が虚数解 $\alpha$ をもつなら、$\bar{\alpha }$ も解である。」

虚数解は、必ず共役なペアで現れる。

$x^2-2x+5=0$ の解は $1\pm 2i$ — 確かに共役なペアだ。

共役という、符号を変えるだけの単純な操作。

それが、複素数の世界の"対称性"を体現している。