極形式(第1象限)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極形式は「絶対値 $r$」と「偏角 $\theta$」の $2$ つの読み取りで決まる。

$$r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$$

偏角は $\cos \theta =\frac{1}{2}$、$\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ を両方満たす角 — 第 $1$ 象限で $\theta =60^{\circ }$。

$$z=2(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })$$

$\tan \theta =\sqrt{3}$ だけだと $240^{\circ }$ と区別できないので、点がどの象限かの確認が要る。

① 絶対値を求める。 $r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$。

② 偏角を求める。 点 $(1,\sqrt{3})$ は第 $1$ 象限。$\tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$ より $\theta =60^{\circ }$。

$$z=2(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })$$

まとめ:極形式は「絶対値 $r$ と偏角 $\theta$」。$r=2$、$\tan \theta =\sqrt{3}$ で第 $1$ 象限だから $\theta =60^{\circ }$。偏角は $\tan$ の値だけでなくどの象限かも見て決めるのが大事だ。

発展 — 一歩先へ。 極形式は「複素数の掛け算を、回転と拡大で読む」ための翻訳装置だ。$z=2\mathrm{cis}60^{\circ }$($\mathrm{cis}\theta =\cos \theta +i\sin \theta$ の略記)と書けば、「$z$ を掛ける $=$ $60^{\circ }$ 回して $2$ 倍する」という操作の名札になる。直交形式 $1+\sqrt{3}i$ が「位置」の言葉なら、極形式は「操作」の言葉である。

偏角には $60^{\circ }+360^{\circ }k$ の不定性がある($1$ 周回っても同じ点)。ふつうは $0^{\circ }\leqq \theta <360^{\circ }$ に代表を取るが、$n$ 乗根の問題ではこの「$k$ の分だけ答えが増える」ことが本質になる — 次の $1$ の $3$ 乗根で、その意味が明かされる。

別解

点 $(1,\sqrt{3})$ を図に打つと、極形式は計算なしで読める。

原点からこの点まで、横に $1$・縦に $\sqrt{3}$ の直角三角形ができる。$3$ 辺は $1,\sqrt{3},2$($1^2+3=4$)— $30^{\circ }$–$60^{\circ }$–$90^{\circ }$ の有名三角形だ(正三角形の半分)。

• 斜辺 $=2$ — これが絶対値
• 底辺 $1$ に対して高さ $\sqrt{3}$ と縦長 — 底角は大きい方の $60^{\circ }$ — これが偏角

三角定規の形がそのまま答えを言っている。

有名角の複素数は、この「三角定規を当てる」読みで足りる。$1+i$(直角二等辺 → $45^{\circ }$)、$\sqrt{3}+i$(横長 → $30^{\circ }$)、そして今回の $1+\sqrt{3}i$($60^{\circ }$)— $3$ つの形を絵で覚えておくと、極形式・回転・累乗の問題全体で計算の初動が速くなる。