60°回転

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $60^{\circ }$ 回転は $\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ を掛ける。

$$2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\sqrt{3}i$$

$z=2$ が実数(偏角 $0^{\circ }$ の点)なので、掛け算は単なる $2$ 倍 — 回転因子の成分が $2$ 倍されて終わる、いちばん素直な回転である。

① 掛ける複素数を書く。 $\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。

② $z=2$ に掛ける。

$$2(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=1+\sqrt{3}i$$

まとめ:実軸上の点 $2$ を $60^{\circ }$ 回すと $1+\sqrt{3}i$(絶対値 $2$、偏角 $60^{\circ }$)。回転は $(\cos \theta +i\sin \theta )$ を掛けるだけ。$60^{\circ }$ の三角比を正確に代入するのがポイント。

発展 — 一歩先へ。 $2$ と $1+\sqrt{3}i$ と原点 — この $3$ 点は $2$ 辺が長さ $2$ で挟角 $60^{\circ }$、つまり正三角形を作る。「ある点を $60^{\circ }$ 回転すると正三角形の第 $3$ 頂点が出る」— 正三角形の作図・判定(${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$ の背景)は、この $60^{\circ }$ 回転の応用だ。

回転因子 $\mathrm{cis}60^{\circ }$ は $6$ 乗すると $1$($60^{\circ }\times 6=360^{\circ }$)— $1$ の $6$ 乗根のひとつでもある。回転・累乗・$n$ 乗根が、単位円の上ですべてつながっていることを、この単純な問題からも感じ取れる。

別解

計算せずに、単位円の絵で着地点を読むこともできる。

$z=2$ は「実軸上、原点から距離 $2$」の点 — 極形式で言えば絶対値 $2$・偏角 $0^{\circ }$。

回転は絶対値を変えず、偏角だけ動かす。$60^{\circ }$ 回した先は「絶対値 $2$・偏角 $60^{\circ }$」の点 — 半径 $2$ の円周上を $60^{\circ }$ ぶん進んだ場所だ。座標は

$$2(\cos 60^{\circ },\sin 60^{\circ })=(1,\sqrt{3})$$

つまり $1+\sqrt{3}i$。掛け算の展開と同じ答えに、絵だけで着いた。

この点は極形式の問題($1+\sqrt{3}i$ の極形式は $2\mathrm{cis}60^{\circ }$)の逆向きの計算になっている — あちらは「座標 → 絶対値と偏角」、こちらは「絶対値と偏角 → 座標」。$2$ つの問題がペアで、極形式の辞書を双方向に引く練習になっている。