2乗と回転

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず素直に展開する。

$$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$$

次に、この結果を極形式で読み直す。$2i$ は絶対値 $2$・偏角 $90^{\circ }$ の点だから

$$2i=2(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })$$

$1$ つの計算を「代数(展開)」と「幾何(極形式)」の両面から見る — この問題は $2$ つの言語の対訳表を作る練習である。

① 展開する。 $i^2=-1$。

$$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$$

② 極形式で確認する。 $1+i=\sqrt{2}(\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ })$ なので、$2$ 乗すると絶対値 $(\sqrt{2}{)}^2=2$、偏角 $45^{\circ }\times 2=90^{\circ }$。

$$2i=2(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })$$

まとめ:成分計算と極形式計算が一致することを見る問題。$(1+i{)}^2=2i$ は、$1+i$ を「大きさ $\sqrt{2}$ 倍・$45^{\circ }$ 回転」に対応させると、$2$ 乗で「$2$ 倍・$90^{\circ }$」。両方の見方でつながる。

発展 — 一歩先へ。 「$2$ 乗 $=$ 偏角を倍に」を逆から読むと「平方根 $=$ 偏角を半分に」— どんな複素数にも平方根が($\pm$ の)$2$ つ存在することが、絵で明らかになる。実数の世界では「負の数に平方根がない」という壁があったが、回転の世界では偏角を半分にするだけ — 複素数が方程式論を完成させる($n$ 次方程式は $n$ 個の解を持つ)直感的な理由がここにある。

$(1+i{)}^2=2i$ は $8$ 乗の計算($((1+i{)}^2{)}^4=(2i{)}^4=16$)の部品としても再登場する — 小さな計算の結果が次の問題の道具になる連鎖を、この単元では味わえる。

別解

「$2$ 乗する」という操作を、点の運動として観察してみよう。

$1+i$ は絶対値 $\sqrt{2}$・偏角 $45^{\circ }$ の点。$2$ 乗の規則(ド・モアブル)は

• 絶対値は $2$ 乗: $(\sqrt{2}{)}^2=2$
• 偏角は $2$ 倍: $45^{\circ }\times 2=90^{\circ }$

つまり点は「原点からの距離を $2$ 乗しながら、偏角を倍に開いて」動き、$45^{\circ }$ の点が $90^{\circ }$(虚軸上)へ — 展開の答え $2i$ の位置にぴたり着地する。

この「$2$ 乗 $=$ 偏角を倍に開く」という動きの感覚は、いろいろな現象を説明する。実数($0^{\circ }$ か $180^{\circ }$)を $2$ 乗すると $0^{\circ }$ か $360^{\circ }$ — 必ず正になる。純虚数($90^{\circ }$)の $2$ 乗は $180^{\circ }$ — 負の実数($i^2=-1$!)。そして $45^{\circ }$ の $1+i$ は「$2$ 乗して純虚数になる数」— $\pm (1+i)/\sqrt{2}$ が $i$ の平方根である理由も、$45^{\circ }$ が $90^{\circ }$ の半分だから、の一言で済む。