数学C / 複素数平面

累乗(極形式)

★★★ 応用ド・モアブル

問題

$(3 + i)^{3}$ を計算せよ。

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まず極形式へ。絶対値と偏角が両方ともきれいな値になる複素数なので、累乗の規則が気持ちよく決まる。

解答・解説

方針

$3 + i$ を極形式にする。絶対値 $2$ 、偏角 $3 0^{\circ}$ 。ド・モアブルで絶対値 $2^{3}$ 、偏角 $9 0^{\circ}$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(3 + i)^{3}$ も、極形式に直してド・モアブルを使う。絶対値 $2$ 、偏角 $3 0^{\circ}$ の複素数だ。

$3$ 乗すれば絶対値は $2^{3}$ 、偏角は $3 0^{\circ} \times 3 = 9 0^{\circ}$ になる。

「累乗は極形式に直せば、絶対値のべきと偏角の $n$ 倍で瞬時に決まる」。この発想を反復する。

定理ド・モアブル

(r (cos θ + i sin θ))^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)

① 極形式にする。 $∣ 3 + i ∣ = 3 + 1 = 2$ 、偏角は $tan θ = \frac{1}{3}$ より $3 0^{\circ}$ 。

$3 + i = 2 (cos 3 0^{\circ} + i sin 3 0^{\circ})$

② ド・モアブルを使う。 絶対値 $2^{3} = 8$ 、偏角 $3 0^{\circ} \times 3 = 9 0^{\circ}$ 。

$(3 + i)^{3} = 8 (cos 9 0^{\circ} + i sin 9 0^{\circ}) = 8 i$

まとめ: $3 + i$ は偏角 $3 0^{\circ}$ なので、 $3$ 乗で偏角 $9 0^{\circ}$ (純虚数)。絶対値 $2$ が $8$ に。極形式にすれば累乗は「絶対値を累乗、偏角を掛ける」だけ。展開より圧倒的に速い。

発展 — 一歩先へ。 $3 + i$ の共役 $3 - i$ は、実軸に関する鏡像だ(偏角 $- 3 0^{\circ}$ )。累乗は共役と交換する( $\overline{z^{n}} = (\overset{z}{ˉ})^{n}$ )から、 $(3 - i)^{3} = \overline{(3 + i)^{3}} = \overline{8 i} = - 8 i$ が、計算せずに分かる。

さらに $(3 + i) (3 - i) = 3 - i^{2} = 4$ (実数)なので、両者の $n$ 乗の積はつねに $4^{n}$ 。偏角が $+ 3 0^{\circ}$ と $- 3 0^{\circ}$ で対称だから、 $n$ 乗しても $\pm 3 0^{\circ} n$ と鏡像のまま向かい合う。

共役という「実軸の鏡」は、累乗を通り抜けても保たれる。だから片方を計算すれば、もう片方はただ折り返すだけで手に入る。

答

$8 i$

別解

別解 — 極形式を使わず、そのまま $3$ 乗を展開する(苦手な人向けのルート)。 $3$ 乗くらいなら、 $(3 + i)^{3}$ を直接展開しても手に負える。

$(3 + i)^{3} = (3)^{3} + 3 (3)^{2} i + 33 i^{2} + i^{3}$

各項を計算する。 $(3)^{3} = 33$ 、 $3 (3)^{2} i = 9 i$ 、 $33 i^{2} = - 33$ 、 $i^{3} = - i$ 。

$= 33 + 9 i - 33 - i = 8 i$

実部 $33 - 33 = 0$ がきれいに消え、虚部 $9 i - i = 8 i$ が残る。

極形式にする本解と同じ $8 i$ 。三角関数を使わなくても、二項展開と $i^{2} = - 1, i^{3} = - i$ の処理だけで確かめられる。

ポイント

極形式 → ド・モアブル。
$3 + i$ は $r = 2$ 、偏角 $3 0^{\circ}$ 。

よくある間違い

偏角を $tan θ = \frac{1}{3}$ から $6 0^{\circ}$ と誤る(実部 $3$ ・虚部 $1$ なので $3 0^{\circ}$ )。
絶対値 $∣ 3 + i ∣$ を $3 + 1$ と誤る(正しくは $3 + 1 = 2$ )。
極形式にせず展開する際、 $i^{2} = - 1$ 、 $i^{3} = - i$ の符号処理を誤って実部・虚部を取り違える。