数学C / 複素数平面

極形式とド・モアブルの定理

★★★★ 難関ド・モアブル極形式

問題

$(3 + i)^{8}$ を計算せよ。

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$3 + i$ を極形式(絶対値と偏角)に直す。ド・モアブルの定理で $8$ 乗すると、絶対値は $8$ 乗、偏角は $8$ 倍。

解答・解説

$3 + i$ を極形式にする:絶対値 $2$ 、偏角 $\frac{π}{6}$ 。ド・モアブルの定理で $8$ 乗すると $2^{8} (cos \frac{8 π}{6} + i sin \frac{8 π}{6})$ 。偏角を簡単にして計算する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 複素数の高い累乗は、極形式に直してド・モアブルの定理を使うのが定石。

$3 + i$ の絶対値と偏角を求める。

$8$ 乗は「絶対値を $8$ 乗、偏角を $8$ 倍」するだけ。

偏角が $2 π$ を超えたら簡単な角に直す、と見通す。 $3 + i$ は $2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ 。

公式ド・モアブルの定理:

{r (cos θ + i sin θ)}^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)

① 極形式にする。 $∣ 3 + i ∣ = 3 + 1 = 2$ 、偏角は $tan^{- 1} \frac{1}{3} = \frac{π}{6}$ 。よって

$3 + i = 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$

② ド・モアブルで $8$ 乗。

$(3 + i)^{8} = 2^{8} (cos \frac{8 π}{6} + i sin \frac{8 π}{6}) = 256 (cos \frac{4 π}{3} + i sin \frac{4 π}{3})$

③ 計算する。 $cos \frac{4 π}{3} = - \frac{1}{2}$ 、 $sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}$ だから

$= 256 (- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i) = - 128 - 1283 i$

まとめ:高い累乗は「極形式 → ド・モアブル」。絶対値 $2$ を $8$ 乗( $256$ )、偏角 $\frac{π}{6}$ を $8$ 倍( $\frac{4 π}{3}$ )。偏角を第 $3$ 象限の角に直して実部・虚部を計算する。

発展 — 一歩先へ。 ド・モアブルの定理の心は「掛け算を角の足し算に変える」こと。極形式なら、 $n$ 乗は絶対値を $n$ 乗し、偏角を $n$ 倍するだけ。だから複雑な累乗が、角の計算に化ける。

これを一段推し進めると、 $3 + i = 2 e^{iπ /6}$ (オイラーの公式)と書ける。 $8$ 乗は $2^{8} e^{i \cdot 8 π /6} = 256 e^{i \cdot 4 π /3}$ 。指数法則がそのまま偏角の計算になる。

「回転と拡大」を数の掛け算で表せるのが、複素数の強み。累乗は「同じ回転を何度も重ねる」ことにほかならない。

答

$- 128 - 1283 i$

別解 — 先に $2$ 乗して指数を下げる(得意な人向けの視点)。 極形式に直す前に、 $(3 + i)^{2}$ を計算しておくと、あとの偏角が扱いやすくなる。

$(3 + i)^{2} = 3 + 23 i + i^{2} = 2 + 23 i .$

これを極形式にすると、絶対値 $2^{2} + (23)^{2} = 4 + 12 = 4$ 、偏角 $60°$ 。つまり $2 + 23 i = 4 (cos 60° + i sin 60°)$ 。

求めるのは $8$ 乗なので、この $2$ 乗を $4$ 乗すればよい。ド・モアブルで

$(3 + i)^{8} = (4 (cos 60° + i sin 60°))^{4} = 4^{4} (cos 240° + i sin 240°) = 256 (- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i) = - 128 - 1283 i .$

はじめから極形式にする本解と同じ。 $2$ 乗で偏角が $30° \to 60°$ と整い、 $4$ 乗するだけで済む。累乗の指数を分けて小さくするのも、計算を軽くする一手だ。