極形式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 複素数には、$2$ つの表し方がある。

① 直交形式 $z=a+bi$ — 「横に $a$、縦に $b$」

② 極形式 $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ — 「原点から距離 $r$、角度 $\theta$ の方向」

同じ点を、$2$ 通りの座標で言い表しているだけだ。

極形式に直すには、$2$ つの量を求める。

① 絶対値 $r$(原点からの距離)

$$r=|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$

② 偏角 $\theta$(実軸の正の向きから測った角)

点 $(1,1)$ は、右上 $45^{\circ }$ の方向にある。

$$\theta =\frac{\pi }{4}$$

まとめる。

$$z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$$

なぜ、わざわざ極形式に直すのか。

掛け算が、劇的に簡単になるからだ。 それは次の問題で見よう。

① 絶対値を求める。 $r=|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。

② 偏角を求める。 点 $(1,1)$ は第 $1$ 象限で、実軸とのなす角は $\frac{\pi }{4}$($45^{\circ }$)。

$$z=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})$$

まとめ:極形式は「絶対値 $r$ × 向き($\cos \theta +i\sin \theta$)」。$r$ は原点からの距離、$\theta$ は実軸から測った角(偏角)。$1+i$ は距離 $\sqrt{2}$、角 $\frac{\pi }{4}$。積・累乗の計算で威力を発揮する。

発展 — 一歩先へ。 極形式には、もっと美しい書き方がある。

オイラーの公式。

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

極形式は、これを使うと

$$z=r{e}^{i\theta }$$

たった $3$ 文字だ。

この問題の $1+i$ なら

$$1+i=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$$

なぜ、この式が成り立つのか。

$e^x$、$\cos x$、$\sin x$ を、それぞれ級数で書いてみよう。

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$

$x$ に $i\theta$ を代入する。

$$e^{i\theta }=1+i\theta +\frac{(i\theta {)}^2}{2!}+\frac{(i\theta {)}^3}{3!}+\cdots$$

$i^2=-1$、$i^3=-i$、$i^4=1$ を使って整理する。

$$=\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\cdots \right)+i\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\cdots \right)$$

カッコの中身に、見覚えはないだろうか。

前者は $\cos \theta$ の級数、後者は $\sin \theta$ の級数だ!

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta ■$$

指数関数と三角関数が、虚数を通じてつながった。

この式の威力は、計算を見れば分かる。

極形式の積は、指数法則になる。

$$r_1{e}^{i{\theta }_1}\times r_2{e}^{i{\theta }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

「絶対値は掛け算、偏角は足し算」 — 指数法則そのものだ。

ド・モアブルの定理も、一瞬で出る。

$${\left(e^{i\theta }\right)}^n=e^{in\theta }$$

「$n$ 乗すると、偏角が $n$ 倍」 — 当たり前の指数法則である。

そして、$\theta =\pi$ を代入すると

$$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi =-1$$

$$\boxed{e^{i\pi }+1=0}$$

オイラーの等式。

$e$(解析)、$i$(代数)、$\pi$(幾何)、$1$(単位)、$0$(無)。

数学の $5$ つの基本定数が、$1$ 本の式に収まっている。

ファインマンは、これを「数学のもっとも注目すべき公式」と呼んだ。

$1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$

この、教科書どおりの極形式。

それを $\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$ と書き直した瞬間、複素数は"回転する指数関数"という、まったく新しい顔を見せる。

別解

図に描けば、$45^{\circ }$ は一目で分かる。

複素数平面に、点 $(1,1)$ を打つ。

原点から、この点へ矢印を引く。

横に $1$、縦に $1$。

この矢印は、どんな方向を向いているか。

横と縦が、まったく同じ長さ。 つまり、ちょうど斜め $45^{\circ }$ だ。

$$\tan \theta =\frac{1}{1}=1⟹\theta =45^{\circ }=\frac{\pi }{4}$$

そして、矢印の長さは?

縦 $1$、横 $1$ の直角二等辺三角形の斜辺。

$$r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$

($1:1:\sqrt{2}$ の、おなじみの三角形だ。)

図から、$r=\sqrt{2}$、$\theta =\frac{\pi }{4}$ が読み取れた ✓

計算せずに、目で見て分かる。

この「図で確認する」習慣が、偏角のミスを防ぐ。

偏角の落とし穴。

$$\tan \theta =1$$

この式だけを見ると、$\theta =45^{\circ }$ とも $\theta =225^{\circ }$ とも取れる。

($\tan$ は $180^{\circ }$ 周期だから。)

どちらが正しいか。

点 $(1,1)$ は、第 $1$ 象限にある。 だから $\theta =45^{\circ }$。

もし点が $(-1,-1)$(第 $3$ 象限)なら、$\tan \theta =1$ でも $\theta =225^{\circ }$ だ。

「$\tan$ の値だけでは、偏角は決まらない。象限を確認する。」

これが、極形式でいちばん間違えやすいポイントである。

必ず図を描いて、点がどの象限にあるかを確かめる。

$4$ つの象限での、偏角の範囲。

• 第 $1$ 象限($a>0$、$b>0$): $0^{\circ }<\theta <90^{\circ }$
• 第 $2$ 象限($a<0$、$b>0$): $90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$
• 第 $3$ 象限($a<0$、$b<0$): $180^{\circ }<\theta <270^{\circ }$
• 第 $4$ 象限($a>0$、$b<0$): $270^{\circ }<\theta <360^{\circ }$

この対応を、頭に入れておこう。

そして、極形式で書くと、複素数の"正体"が見えてくる。

$$z=\sqrt{2}\left(\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ }\right)$$

「大きさ $\sqrt{2}$、向き $45^{\circ }$」

大きさと向き — これは、ベクトルの $2$ 要素そのものだ。

複素数は、平面のベクトルと同じ情報をもっている。

だが、複素数には掛け算がある。

そして、極形式で書くと、その掛け算の意味が、透けて見えてくるのだ。