距離の比が一定な点の軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 複素数の軌跡は $z=x+yi$ とおいて、$x,y$ の関係式に直す。

絶対値は根号が絡むので、$2$ 乗する($|z-3{|}^2=4|z{|}^2$)。

$|z-3{|}^2=(x-3{)}^2+y^2$、$|z{|}^2=x^2+y^2$ を代入する。

整理すると円になるはず(距離の比が一定 → アポロニウスの円)、と見通す。

① $2$ 乗して立式する。 $z=x+yi$ とおき、$|z-3|=2|z|$ を $2$ 乗する。

$$(x-3{)}^2+y^2=4(x^2+y^2)$$

② 整理する。 展開して

$$x^2-6x+9+y^2=4x^2+4y^2⟹3x^2+3y^2+6x-9=0$$

両辺を $3$ で割り、$x$ について平方完成する。

$$x^2+y^2+2x-3=0⟹(x+1{)}^2+y^2=4$$

まとめ:複素数の距離の軌跡は「$z=x+yi$ で $2$ 乗して立式」。$|z-3|=2|z|$ は距離の比 $1:2$ で、アポロニウスの円 $(x+1{)}^2+y^2=4$(中心 $-1$、半径 $2$)。比が $1$ でないので直線でなく円になる。

発展 — 一歩先へ。 $2$ 定点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ からの距離の比 $|z-A|:|z-B|$ が一定 $k$ の点の軌跡は、$k\ne 1$ なら円(アポロニウスの円)、$k=1$ なら垂直二等分線(直線)になる。今回は $\mathrm{A}=3$、$\mathrm{B}=0$、$k=\frac{1}{2}$。

比が $1$ からずれるほど、円は小さいほうの定点に寄る。$k<1$ なら $\mathrm{A}$ 側(遠いほう)寄りではなく、近いほうに小さくまとまる感覚だ。

複素数で扱うと、$|z-a{|}^2=(z-a)(\bar{z}-\bar{a})$ と共役の積で書けるので、成分に分けなくても計算できる。円という図形が、絶対値ひとつの条件から現れる。

別解

別解 — 共役を使って複素数のまま整理する(得意な人向けの視点)。 $x,y$ に分けず、$|w{|}^2=w\bar{w}$ を使って複素数のまま計算しても円が出る。

$|z-3|=2|z|$ の両辺を $2$ 乗する。$|z-3{|}^2=(z-3)(\bar{z}-3)$、$|z{|}^2=z\bar{z}$ だから

$$(z-3)(\bar{z}-3)=4z\bar{z}.$$

左辺を展開すると $z\bar{z}-3z-3\bar{z}+9=4z\bar{z}$。移項して

$$3z\bar{z}+3z+3\bar{z}-9=0⟹z\bar{z}+z+\bar{z}-3=0.$$

ここで $z\bar{z}+z+\bar{z}=(z+1)(\bar{z}+1)-1$ だから、$(z+1)(\bar{z}+1)=4$、すなわち

$$|z+1{|}^2=4⟹|z+1|=2.$$

これは中心 $-1$、半径 $2$ の円。$z=x+yi$ に分けて計算する本解と同じ $(x+1{)}^2+y^2=4$。$w\bar{w}=|w{|}^2$ を使うと、$(z+1)(\bar{z}+1)=|z+1{|}^2$ と一気に円の形にまとまる。共役を味方につけると計算が短くなる。