原点まわりの回転

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 原点まわりの $\theta$ 回転は、$\cos \theta +i\sin \theta$ を掛ける操作。$90^{\circ }$ なら

$$\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }=i$$

つまり $i$ 倍 $=$ $90^{\circ }$ 回転。

$$i(2+i)=2i+i^2=-1+2i$$

掛け算 $1$ 回で回転が済む — 複素数平面のいちばんおいしい仕組みである。

① 掛ける複素数を決める。 $90^{\circ }$ 回転は $\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }=i$。

② 計算する。 $i^2=-1$。

$$i(2+i)=2i+i^2=2i-1=-1+2i$$

まとめ:原点まわりの回転は「$(\cos \theta +i\sin \theta )$ を掛ける」。$90^{\circ }$ なら $i$、$60^{\circ }$ なら $\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }$。複素数の掛け算が回転を表すという、複素数平面の核心的な性質だ。

発展 — 一歩先へ。 $i$ 倍を $2$ 回続けると $i^2=-1$ 倍 — $90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$ 回転で、点は原点対称の位置へ。「$i^2=-1$」という定義そのものが「$90^{\circ }$ を $2$ 回で $180^{\circ }$(符号反転)」という回転の言葉で読める。$i$ は「$-1$ の平方根」である前に「$180^{\circ }$ 回転の半分」なのだ。

原点以外の点 $\alpha$ のまわりの回転は、$\alpha$ を原点へずらしてから回す: $w=\alpha +i(z-\alpha )$。「ずらす → 回す → 戻す」の $3$ 段合成は、図形の回転問題(正方形の頂点・正三角形の決定)の定跡として次に控えている。

別解

ベクトルの単元で使った $90^{\circ }$ 回転の規則と突き合わせると、$i$ 倍の意味が二重に確かめられる。

平面ベクトルの $90^{\circ }$ 回転(反時計回り)は「成分を入れかえて、頭に来た方の符号を反転」

$$(x,y)⟶(-y,x)$$

だった(垂直なベクトル作りの規則)。点 $(2,1)$ に適用すると $(-1,2)$。

複素数の計算 $i(2+i)=-1+2i$、つまり点 $(-1,2)$ — 完全に同じ答えだ。

一般でも $i(x+yi)=-y+xi$ — $i$ 倍の展開が、ベクトルの回転規則 $(x,y)\to (-y,x)$ を自動でやってくれている。回転後の点と元の点の内積は $2\cdot (-1)+1\cdot 2=0$ — 確かに直角だ。

ベクトルでは「規則」として覚えた操作が、複素数では「$i$ を掛ける」というただの掛け算になる。回転を掛け算に変えるこの言語こそ、複素数平面という単元の売りである。