図形の性質 — 五心・チェバ・メネラウス・円

$△\mathrm{ABC}$ で、辺 $\mathrm{AB}$、$\mathrm{AC}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{M}$、$\mathrm{N}$ とする。

(1) $\mathrm{BC}=12$ のとき、$\mathrm{MN}$ の長さを求めよ。

(2) $\angle \mathrm{ABC}=70^{\circ }$ のとき、$\angle \mathrm{AMN}$ を求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ で $\mathrm{AB}=6$、$\mathrm{AC}=4$、$\mathrm{BC}=5$ とする。$\angle \mathrm{A}$ の二等分線が辺 $\mathrm{BC}$ と交わる点を $\mathrm{D}$ とする。

(1) $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$ を求めよ。

(2) $\mathrm{BD}$ の長さを求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ の3本の中線の交点を $\mathrm{G}$ とする。辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。

(1) 中線 $\mathrm{AM}=9$ のとき、$\mathrm{AG}$ と $\mathrm{GM}$ の長さを求めよ。

(2) $\mathrm{AG}=8$ のとき、中線 $\mathrm{AM}$ の長さを求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ の内接円が、辺 $\mathrm{AB}$、$\mathrm{BC}$、$\mathrm{CA}$ とそれぞれ点 $\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$、$\mathrm{R}$ で接している。$\mathrm{AB}=7$、$\mathrm{BC}=5$、$\mathrm{CA}=6$ とする。

$\mathrm{AP}$、$\mathrm{BQ}$、$\mathrm{CR}$ の長さを求めよ。

$\mathrm{O}$ は $△\mathrm{ABC}$ の外心(外接円の中心)である。$\angle \mathrm{BAC}=40^{\circ }$ とする。

$\angle \mathrm{BOC}$ を求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ の内部の点で3本の線 $\mathrm{AD}$、$\mathrm{BE}$、$\mathrm{CF}$ が1点で交わっている。ここで $\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ 上、$\mathrm{E}$ は辺 $\mathrm{CA}$ 上、$\mathrm{F}$ は辺 $\mathrm{AB}$ 上の点である。

$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{3}{2}$、$\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{2}{1}$ のとき、$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}$ を求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ を1本の直線が横切り、辺 $\mathrm{AB}$ を $\mathrm{F}$、辺 $\mathrm{AC}$ を $\mathrm{E}$、辺 $\mathrm{BC}$ の延長を $\mathrm{D}$ で交わっている。

$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=1:2$、$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=1:3$ のとき、$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$ を求めよ。

円 $\mathrm{O}$ の周上に3点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ がある。弧 $\mathrm{BC}$(点 $\mathrm{A}$ を含まないほう)に対する中心角 $\angle \mathrm{BOC}=100^{\circ }$ とする。

円周角 $\angle \mathrm{BAC}$ を求めよ。

四角形 $\mathrm{ABCD}$ が円に内接している。$\angle \mathrm{A}=85^{\circ }$、$\angle \mathrm{B}=110^{\circ }$ とする。

$\angle \mathrm{C}$ と $\angle \mathrm{D}$ を求めよ。

円 $\mathrm{O}$ の周上の点 $\mathrm{T}$ で接線 $\ell$ を引く。$\mathrm{T}$ から円周上の点 $\mathrm{A}$ へ弦 $\mathrm{TA}$ を引くと、接線 $\ell$ と弦 $\mathrm{TA}$ のなす角が $65^{\circ }$ であった。点 $\mathrm{B}$ は、この角と反対側の弧の上にある。

円周角 $\angle \mathrm{TBA}$ を求めよ。

円の2つの弦 $\mathrm{AB}$、$\mathrm{CD}$ が円の内部の点 $\mathrm{P}$ で交わっている。$\mathrm{PA}=2$、$\mathrm{PB}=6$、$\mathrm{PC}=3$ とする。

$\mathrm{PD}$ の長さを求めよ。

正十二面体は、正五角形の面が $12$ 枚集まってできた立体である。

(1) 辺の数 $e$ を求めよ。

(2) 頂点の数 $v$ を求めよ。

3本の平行な直線 $\ell$、$m$、$n$ に、2本の直線が交わっている。1本目の直線上では、上から順に長さ $3$、$4$ に分けられ、2本目の直線上では上の部分が $6$ である。

2本目の直線の下の部分 $\mathrm{EF}$ の長さを求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ で $\mathrm{AB}=6$、$\mathrm{AC}=4$、$\mathrm{BC}=5$ とする。$\angle \mathrm{A}$ の内角の二等分線が $\mathrm{BC}$ と交わる点を $\mathrm{D}$、外角の二等分線が $\mathrm{BC}$ の延長と交わる点を $\mathrm{E}$ とする。

線分 $\mathrm{DE}$ の長さを求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ で $\mathrm{AB}=7$、$\mathrm{AC}=5$、$\mathrm{BC}=6$ とする。$\mathrm{M}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の中点、$\mathrm{G}$ は重心である。

(1) 中線 $\mathrm{AM}$ の長さを求めよ。

(2) $△\mathrm{ABC}$ の面積が $18$ のとき、$△\mathrm{GBC}$ の面積を求めよ。

$\mathrm{I}$ は $△\mathrm{ABC}$ の内心である。

(1) $\angle \mathrm{BAC}=50^{\circ }$ のとき、$\angle \mathrm{BIC}$ を求めよ。

(2) $\angle \mathrm{BIC}=130^{\circ }$ のとき、$\angle \mathrm{BAC}$ を求めよ。

$\mathrm{O}$ は $△\mathrm{ABC}$ の外心で、$\angle \mathrm{BAC}=35^{\circ }$ とする。

(1) $\angle \mathrm{BOC}$ を求めよ。

(2) $\angle \mathrm{OBC}$ を求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ の内部で3本の線 $\mathrm{AD}$、$\mathrm{BE}$、$\mathrm{CF}$ が1点で交わっている($\mathrm{D}$ は $\mathrm{BC}$ 上、$\mathrm{E}$ は $\mathrm{CA}$ 上、$\mathrm{F}$ は $\mathrm{AB}$ 上)。$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:3$、$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=4:1$ とする。

(1) $\mathrm{AF}:\mathrm{FB}$ を求めよ。

(2) $\mathrm{AB}=11$ のとき、$\mathrm{AF}$ の長さを求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ で $\mathrm{M}$ を辺 $\mathrm{BC}$ の中点とし、中線 $\mathrm{AM}$ を引く。辺 $\mathrm{AC}$ 上に $\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=2:1$ となる点 $\mathrm{E}$ をとり、直線 $\mathrm{BE}$ が中線 $\mathrm{AM}$ と交わる点を $\mathrm{P}$ とする。

$\mathrm{AP}:\mathrm{PM}$ を求めよ。

円周上に3点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ があり、弧 $\mathrm{AB}$、弧 $\mathrm{BC}$、弧 $\mathrm{CA}$(いずれも他の点を含まないほう)の長さの比が $2:3:4$ である。

$△\mathrm{ABC}$ の3つの内角 $\angle \mathrm{A}$、$\angle \mathrm{B}$、$\angle \mathrm{C}$ を求めよ。

四角形 $\mathrm{ABCD}$ が円に内接し、$\angle \mathrm{BAD}=95^{\circ }$、$\angle \mathrm{ADC}=70^{\circ }$ とする。辺 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{C}$ の側に延長した半直線上に点 $\mathrm{E}$ をとる。

(1) $\angle \mathrm{BCD}$ と $\angle \mathrm{ABC}$ を求めよ。

(2) $\angle \mathrm{DCE}$ を求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ が円に内接している。点 $\mathrm{A}$ での接線と弦 $\mathrm{AB}$ のなす角が $62^{\circ }$ であり、$\angle \mathrm{ABC}=73^{\circ }$ である。

$\angle \mathrm{BAC}$ を求めよ。

円の外部の点 $\mathrm{P}$ から接線 $\mathrm{PT}$($\mathrm{T}$ は接点)を引く。また $\mathrm{P}$ から円を貫く割線を引き、円との交点を近いほうから $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ とする。$\mathrm{PA}=3$、$\mathrm{PB}=12$ とする。

(1) 接線 $\mathrm{PT}$ の長さを求めよ。

(2) 弦 $\mathrm{AB}$ の長さを求めよ。

(1) 正八面体は正三角形の面が $8$ 枚集まった立体である。辺の数 $e$ と頂点の数 $v$ を求めよ。

(2) 立方体 $\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$ で、辺 $\mathrm{AB}$ とねじれの位置にある辺は何本あるか。

$△\mathrm{ABC}$ で、辺 $\mathrm{BC}$ 上に $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=1:2$ となる点 $\mathrm{D}$、辺 $\mathrm{CA}$ 上に $\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=1:3$ となる点 $\mathrm{E}$ をとる。線分 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする。

(1) $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$ を求めよ。

(2) $\mathrm{BP}:\mathrm{PE}$ を求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ で $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$、$\mathrm{BC}=6$ とする。

(1) 面積 $S$ を求めよ。

(2) 内接円の半径 $r$ を求めよ。

(3) 外接円の半径 $R$ を求めよ。

円の2つの弦 $\mathrm{AB}$、$\mathrm{CD}$ が円の内部の点 $\mathrm{P}$ で交わっている。$\mathrm{PA}=6$、$\mathrm{PB}=4$ で、弦 $\mathrm{CD}$ の長さは $11$ である。

$\mathrm{PC}$、$\mathrm{PD}$ の長さを求めよ(ただし $\mathrm{PC}<\mathrm{PD}$)。

円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ で、対角線 $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{BD}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする。$\mathrm{PA}=4$、$\mathrm{PB}=3$、$\mathrm{PC}=6$ とする。

(1) $\mathrm{PD}$ の長さを求めよ。

(2) $\mathrm{AB}:\mathrm{DC}$ を求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ で $\mathrm{AB}=8$、$\mathrm{AC}=6$、$\mathrm{BC}=7$ とする。$\angle \mathrm{A}$ の二等分線が $\mathrm{BC}$ と交わる点を $\mathrm{D}$ とする。

(1) $\mathrm{BD}$ の長さを求めよ。

(2) $\mathrm{AD}$ の長さを求めよ。

$△\mathrm{ABC}$ の各辺を、$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=1:2$ となるように点 $\mathrm{D}$($\mathrm{BC}$ 上)、$\mathrm{E}$($\mathrm{CA}$ 上)、$\mathrm{F}$($\mathrm{AB}$ 上)をとる。線分 $\mathrm{AD}$、$\mathrm{BE}$、$\mathrm{CF}$ で囲まれる内側の三角形の面積は、$△\mathrm{ABC}$ の面積の何倍か。

1辺の長さが $6$ の正四面体 $\mathrm{ABCD}$ がある。

(1) 頂点 $\mathrm{A}$ から底面 $\mathrm{BCD}$ に下ろした高さを求めよ。

(2) 体積を求めよ。

サッカーボールの形は、正五角形 $12$ 枚と正六角形 $20$ 枚を組み合わせた多面体(切頂二十面体)である。

(1) 辺の数 $e$ を求めよ。

(2) 頂点の数 $v$ を求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{D}$、辺 $\mathrm{CA}$ を $3:1$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とする(それぞれ $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:1$、$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=3:1$)。$\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とするとき、$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$ と、三角形 $\mathrm{PBC}$ の面積が三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積の何倍かを求めよ。

円の外部の点 $\mathrm{P}$ から円に接線 $\mathrm{PT}$($\mathrm{T}$ は接点)を引くと、その長さは $6$ であった。また、$\mathrm{P}$ から円に引いた割線が円と $2$ 点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ で交わり($\mathrm{P},\mathrm{A},\mathrm{B}$ の順)、$\mathrm{PA}=4$ であった。$\mathrm{PB}$ と $\mathrm{AB}$ の長さを求めよ。

円周上に $4$ 点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ がこの順にあり、弧 $\mathrm{AB}$、$\mathrm{BC}$、$\mathrm{CD}$、$\mathrm{DA}$ の長さの比が $1:2:3:4$ である。四角形 $\mathrm{ABCD}$ の $4$ つの内角の大きさを求めよ。

座標平面上の三角形 $\mathrm{ABC}$ を $\mathrm{A}(0,0)$、$\mathrm{B}(6,0)$、$\mathrm{C}(2,4)$ とする。外心 $\mathrm{O}$、重心 $\mathrm{G}$、垂心 $\mathrm{H}$ の座標を求め、この $3$ 点が一直線上にあること、および $\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$ となることを確かめよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の内心を $\mathrm{I}$ とする。$\angle \mathrm{BIC}=90°+\frac{1}{2}\angle \mathrm{A}$ が成り立つことを示せ。

$1$ 辺の長さが $a$ の正八面体について、次を求めよ。

(1) 頂点の数 $V$、辺の数 $E$、面の数 $F$ を求め、$V-E+F=2$(オイラーの多面体定理)を確かめよ。

(2) 体積を求めよ。

半径 $4$ の円と半径 $9$ の円が外接している。この $2$ 円の共通外接線(接点で分けられた線分)の、$2$ つの接点のあいだの長さを求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CA}$ を、それぞれ同じ向きに $2:1$ に内分する点を $\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$ とする($\mathrm{AD}:\mathrm{DB}=\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=\mathrm{CF}:\mathrm{FA}=2:1$)。三角形 $\mathrm{DEF}$ の面積は、三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積の何倍か。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円が辺 $\mathrm{BC},\mathrm{CA},\mathrm{AB}$ と接する点をそれぞれ $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$ とする。$3$ 辺を $a=\mathrm{BC},b=\mathrm{CA},c=\mathrm{AB}$、半周を $s=\frac{a+b+c}{2}$ とするとき、$\mathrm{AR}=\mathrm{AQ}=s-a$ となることを示せ。

点 $\mathrm{P}$ から円に接線 $\mathrm{PT}$($\mathrm{T}$ は接点)を引き、$\mathrm{PT}=6$ とする。同じ点 $\mathrm{P}$ を通る直線が円と $2$ 点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ で交わり、$\mathrm{PA}=4$ とする($\mathrm{A}$ は $\mathrm{P}$ に近い方)。線分 $\mathrm{AB}$ の長さを求めよ。

半径 $R$ の円において、弦 $\mathrm{AB}$ に対する円周角(弧 $\mathrm{AB}$ の上に立つ角)が $\theta$ であるとき、弦 $\mathrm{AB}$ の長さが $2R\sin \theta$ であることを示せ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点を $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$、辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。$3$ 本の中線が $1$ 点で交わり、その点は各中線を頂点側から $2:1$ に内分することを、座標を用いて示せ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ で $\angle \mathrm{A}$ の二等分線が辺 $\mathrm{BC}$ と点 $\mathrm{D}$ で交わり、外接円と(再び)点 $\mathrm{E}$ で交わるとする。$\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}$ が成り立つことを示せ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$ 上に点 $\mathrm{D}$ をとり、$\mathrm{BD}=m,\mathrm{DC}=n$ とする。$\mathrm{AB}=c,\mathrm{AC}=b,\mathrm{AD}=d$ とするとき、${\mathrm{AD}}^2=\frac{m{b}^2+n{c}^2}{m+n}-mn$ が成り立つことを示せ(スチュワートの定理)。

円に内接する四角形 $\mathrm{ABCD}$ について、$\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot \mathrm{BC}$ が成り立つことを示せ(トレミーの定理)。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積を $S$、$3$ 辺を $a,b,c$、外接円の半径を $R$、内接円の半径を $r$、半周を $s=\frac{a+b+c}{2}$ とする。$S=\frac{abc}{4R}$ と $S=rs$ を用いて、$r=\frac{abc}{4Rs}$ を示せ。また $a=b=c$(正三角形)のとき $\frac{R}{r}$ の値を求めよ。

$△ABC$ の辺 BC を $1:2$ に内分する点を D、辺 CA を $3:1$ に内分する点を E、辺 AB を $2:3$ に内分する点を F とする。$△DEF$ の面積は $△ABC$ の面積の何倍か。

$△ABC$ において、辺 AB を $2:1$ に内分する点を P、辺 AC を $1:2$ に内分する点を Q とする。線分 BQ と線分 CP の交点を R とするとき、$BR:RQ$ を求めよ。

$△ABC$ の外接円について、点 A における接線と直線 BC が点 P で交わっている。$PB=4,PC=9$($B$ は $P$ と $C$ の間)であるとき、接線の長さ $PA$ と、比 $AB:AC$ を求めよ。

$△ABC$ の内心を I とする。$\angle BIC=90^{\circ }+\frac{\angle A}{2}$ が成り立つことを示せ。

$△ABC$ の内接円が辺 BC, CA, AB に接する点をそれぞれ D, E, F とする。3直線 AD, BE, CF が1点で交わることを、チェバの定理を用いて示せ。

$△ABC$ の3辺の長さを $a=BC,b=CA,c=AB$ とし、各頂点から対辺の中点に引いた中線の長さを $m_a,m_b,m_c$ とする。$m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$ が成り立つことを示せ。

正十二面体($12$ 個の正五角形の面をもつ正多面体)について、頂点の数 $V$、辺の数 $E$、面の数 $F$ を求め、$V-E+F=2$(オイラーの多面体定理)が成り立つことを確かめよ。

$△ABC$ の面積を $S$、$s=\frac{a+b+c}{2}$ とする。辺 BC の側にある傍接円(辺 BC に接し、他の2辺の延長に接する円)の半径 $r_a$ は $r_a=\frac{S}{s-a}$ で与えられる。これを用いて、3辺が $13,14,15$ の三角形で、長さ $14$ の辺に接する傍接円の半径を求めよ。