内接円の接点までの長さ(s−a)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 使う事実はただ1つ。「円の外の1点から引いた2本の接線の長さは等しい」。

だから各頂点からの接線長は、頂点ごとに1つの文字で書ける。$\mathrm{AR}=\mathrm{AQ}=x$、$\mathrm{BP}=\mathrm{BR}=y$、$\mathrm{CP}=\mathrm{CQ}=z$ とおくと、3辺が $y+z=a$、$z+x=b$、$x+y=c$ と表せる。

対称な3本の連立は、まず全部足すのが早い。和から $x+y+z=s$ が出て、あとは引き算だけで各文字が求まる。

① 接線長を文字でおく。 接線の等長性より $$\mathrm{AR}=\mathrm{AQ}=x,\mathrm{BP}=\mathrm{BR}=y,\mathrm{CP}=\mathrm{CQ}=z.$$ ② 辺の関係。 各辺は接点で $2$ つに分かれるので $$y+z=a,z+x=b,x+y=c.$$ ③ 連立して解く。 $3$ 式を足すと $2(x+y+z)=a+b+c=2s$、よって $x+y+z=s$。ここから $$x=(x+y+z)-(y+z)=s-a.$$ ゆえに $\mathrm{AR}=\mathrm{AQ}=s-a$。(同様に $y=s-b,z=s-c$。)

まとめ 接線の等長性で $x,y,z$ をおき、辺の $3$ 式を足して $x+y+z=s$、$\mathrm{AR}=\mathrm{AQ}=s-a$。内接円と接線の長さ・半周の融合。ヘロンの公式にもつながる基本形。

発展 — 一歩先へ。 内接円の代わりに、角 $\mathrm{A}$ の内部で辺 $\mathrm{BC}$ に外から接する円(傍接円)を考えると、$\mathrm{A}$ からの接線長はちょうど $s$ になる。$s-a$ と $s$、内と外の円が半周を分け合う形だ。ヘロンの公式 $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ に $s-a$ たちが並ぶのは偶然ではない。

別解

別解 — $3,4,5$ の三角形で“見える化”する(苦手な人向け)。 直角三角形 $\mathrm{BC}=3,\mathrm{CA}=4,\mathrm{AB}=5$ で確かめてみる。$s=\frac{3+4+5}{2}=6$。

公式どおりなら、$\mathrm{A}$ からの接線長は $s-a=6-3=3$、$\mathrm{B}$ からは $s-b=2$、$\mathrm{C}$ からは $s-c=1$。

実際、直角の頂点 $\mathrm{C}$ を原点に置くと、内接円は中心 $(1,1)$・半径 $1$ になる。2辺との接点は $(1,0)$ と $(0,1)$ で、たしかに $\mathrm{C}$ から距離 $1=s-c$。斜辺との接点までも、$\mathrm{A}$ から $3$、$\mathrm{B}$ から $2$ になっている。

おまけの発見もある。直角三角形では「$s-$(斜辺)」がちょうど内接円の半径 $r$ に等しい($5,12,13$ でも $s-13=2=r$)。文字の答え $x=s-a$ は、具体の数で一度確かめると忘れない。