円周角の定理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円の問題で最初に確認するのは、その角がどの弧を見ている角かである。

$\angle \mathrm{BOC}$ は中心 $\mathrm{O}$ が頂点 → 中心角。 $\angle \mathrm{BAC}$ は円周上の点 $\mathrm{A}$ が頂点 → 円周角。

$2$ つとも、同じ弧 $\mathrm{BC}$($\mathrm{A}$ を含まないほう)を見ている。

$$(\text{円周角})=\frac{1}{2}\times (\text{中心角})$$

$$\angle \mathrm{BAC}=\frac{100^{\circ }}{2}=50^{\circ }$$

「中心が頂点か、円周上が頂点か」を見分ける。 それだけで、$2$ 倍するか半分にするかが決まる。中心角のほうが大きい — 図を見れば当たり前だが、あわてると逆にしてしまう。

$\angle \mathrm{BOC}$ と $\angle \mathrm{BAC}$ は、どちらも同じ弧 $\mathrm{BC}$ を見ている。中心から見た角(中心角)と円周から見た角(円周角)では、円周角のほうが半分。

$$\angle \mathrm{BAC}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{BOC}=\frac{1}{2}\times 100^{\circ }=50^{\circ }$$

発展 — 一歩先へ。 円周角の定理は、実際の競技場の設計にまで顔を出す。

ラグビーのコンバージョンキックを考えよう。トライした地点から、タッチライン(サイドライン)と平行な線上のどこからでも蹴れる、というルールがある。ゴールポストの $2$ 本($\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$)を見込む角が最大になる位置は、どこか?

これは「見込む角が最大の点を探せ」という問題だ。円周角の定理から、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ を通る円が、蹴る位置の直線に接するとき、その接点で角が最大になる(円が小さいほど円周角は大きく、直線と交わってしまうとその外側では角が小さくなる)。

キッカーが「どこまで下がるか」で悩むのは、この最適化問題を解いているのだ。

同じ問題は、美術館で絵をいちばん大きく見込める位置(レギオモンタヌスの問題)としても知られている。天井近くに掛けられた絵は、近づきすぎても離れすぎても見込む角が小さくなる — ちょうどよい距離があるのだ。

「円周角一定の弧」という道具が、最適な位置を教えてくれる。 幾何は、コートの上にも美術館にも生きている。

別解

円周角の定理には、答えを出すこと以上に大事な使い道がある。それを $3$ つ紹介したい。

使い道1: 「同じ弧を見る角は、どこから見ても等しい」

点 $\mathrm{A}$ を、弧の上でどこへ動かしても

$$\angle \mathrm{BAC}=50^{\circ }$$

変わらない。 中心角 $100^{\circ }$ が動かないのだから、その半分も動かない。

これは、驚くべきことだ。 サッカーで、ゴールの幅($\mathrm{BC}$)を「見込む角」を考えよう。ゴールに近づけば角は大きく、離れれば小さくなりそうに思える。しかし、円周上を動くかぎり、角度はまったく同じなのだ。

「一定の角度で $\mathrm{BC}$ を見込む点の集まり」$=$ 円弧。 これが円周角の定理の、いちばん深い意味である。

使い道2: タレスの定理($90^{\circ }$ の特別な場合)

弧 $\mathrm{BC}$ が半円(中心角 $180^{\circ }$)のとき、つまり $\mathrm{BC}$ が直径のとき

$$\angle \mathrm{BAC}=\frac{180^{\circ }}{2}=90^{\circ }$$

直径を見込む円周角は、必ず直角。 円周上のどこに $\mathrm{A}$ を取っても、必ず直角三角形になる。

逆も成り立つ。 「$\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ }$ を満たす点 $\mathrm{A}$ の集まり」は、$\mathrm{BC}$ を直径とする円である。「直角に見える点の軌跡は円」— 軌跡の問題で頻出する。

使い道3: 円周角の定理の逆($4$ 点が同じ円周上にある証明)

$$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{BDC}(\mathrm{A},\mathrm{D}\text{が直線 }\mathrm{BC}\text{の同じ側})⟹\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}\text{は同一円周上}$$

「$2$ 点から同じ角度で見込まれているなら、$4$ 点は同じ円の上にいる」。

これが本当に強力だ。「$4$ 点が同一円周上にあることを示せ」という難問が、角度が等しいことを示すだけの問題に変わる。そして $4$ 点が共円だと分かれば、今度は円周角・内接四角形・方べきの定理と、円の道具がすべて使えるようになる。

円は、角度を運ぶ乗り物である。 離れた $2$ つの角を「同じ弧」でつなぎ、等しいと言い切れる。バラバラの角度に、円が橋を架ける — 幾何の問題で「円を見つける」ことが決定打になるのは、このためだ。