数学A / 図形の性質

中線定理と面積

★★ 標準中線定理重心面積比

問題

$△ ABC$ で $AB = 7$ 、 $AC = 5$ 、 $BC = 6$ とする。 $M$ は辺 $BC$ の中点、 $G$ は重心である。

中線 AM と重心 G(G は AM を 2:1 に分ける)

(1) 中線 $AM$ の長さを求めよ。

(2) $△ ABC$ の面積が $18$ のとき、 $△ GBC$ の面積を求めよ。

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(1) 中線 $AM$ の長さは、3辺だけから出せる公式がある。 $BM = 3$ を使う。(2) 重心 $G$ は中線を $2 : 1$ に分ける。 $△ GBC$ の高さは $△ ABC$ の高さの何分のいくつかを考えよう。

解答・解説

(1) は中線の長さを出す公式(中線定理)を使う。(2) は重心が三角形を面積の等しい6つに分けることから、 $△ GBC$ が全体の何分の1かを考える。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は3辺と中線の関係、中線定理の出番だ。 $AB^{2} + AC^{2} = 2 (AM^{2} + BM^{2})$ に数値を流し込む。

(2)は重心の性質で決まる。重心は各中線を $2 : 1$ に分けるから、 $△ GBC$ の高さは $△ ABC$ の高さの $\frac{1}{3}$ 。底辺 $BC$ は共通だ。

だから面積も $\frac{1}{3}$ で、 $18 \div 3 = 6$ 。「重心は三角形を面積3等分する」と覚えてよい。

定理中線定理:

M

が

BC

の中点のとき

AB^{2} + AC^{2} = 2 (AM^{2} + BM^{2})

(1) $BM = \frac{1}{2} BC = 3$ 。公式に入れる。

$7^{2} + 5^{2} = 2 (AM^{2} + 3^{2})$

$49 + 25 = 2 AM^{2} + 18$

$74 - 18 = 2 AM^{2} \Rightarrow AM^{2} = 28$

$AM = 28 = 27$

(2) $△ GBC$ と $△ ABC$ は、底辺 $BC$ が共通。高さの比を考える。

重心 $G$ は中線 $AM$ を $2 : 1$ に分けるので、 $G$ から $BC$ までの高さは、 $A$ から $BC$ までの高さの $\frac{1}{3}$ 。

$△ GBC = \frac{1}{3} △ ABC = \frac{1}{3} \times 18 = 6$

発展 — 一歩先へ。 重心は三角形を3等分するだけでなく、3本の中線で「面積の等しい6つの小三角形」に切り分けている。3等分はその6つを2個ずつまとめた姿だ。

中線定理は、数学IIの座標、数学Cのベクトル( $AM = \frac{1}{2} (AB + AC)$ の2乗)でも導ける。同じ事実に3つの言語(初等幾何・座標・ベクトル)からたどり着く、良い定点観測の題材である。

答

(1) $AM = 27$ (2) $6$

(1)は、中線定理を忘れても座標で押し切れる。

$B (0, 0)$ 、 $C (6, 0)$ と置くと、 $M (3, 0)$ 。 $A = (x, y)$ は $AB = 7$ 、 $AC = 5$ から

$x^{2} + y^{2} = 49, (x - 6)^{2} + y^{2} = 25$

差をとると $12 x - 36 = 24$ で $x = 5$ 、 $y^{2} = 24$ 。

$AM = (5 - 3)^{2} + 24 = 28 = 27$

中線定理は、この座標計算を文字のまま一般化した結果でもある。「定理を忘れたら座標に置く」という避難路は、図形と計量・図形と方程式でも一貫して使える。