2つの線分の交点の比

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交点の比は、メネラウスの定理か、質点法(てこの釣り合い)で出せる。ここでは見通しのよい質点法で進める。

各頂点に重さを置き、内分点でちょうど釣り合うように重さを決める。すると2本の線分の交点は全体の重心になり、その位置(比)が重さの比で読める。

P は AB を $2:1$、Q は AC を $1:2$ に分ける。この条件から、A, B, C の重さを整合させればよい。

① 質点を置く。 P が AB を $AP:PB=2:1$ に分けるには、$A:B$ の重さを $1:2$ にする(重い方に近い所で釣り合う)。Q が AC を $AQ:QC=1:2$ に分けるには $A:C=2:1$。A の重さを両方でそろえるため、$A=2,B=4,C=1$ とする。

② 交点 R の比。 R は BQ 上の点で、B(重さ $4$)と Q(重さ $=A+C=2+1=3$)の釣り合い点。てこの原理で

$$BR:RQ=(\text{Q側の重さ}):(\text{B側の重さ})=3:4$$

③ メネラウスでの確認。 $△ABQ$ と直線 CPR:$\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BR}{RQ}\cdot \frac{QC}{CA}=1$。$\frac{AP}{PB}=2$。また $AQ:QC=1:2$ より $\frac{QC}{CA}=\frac{2}{3}$。よって $2\cdot \frac{BR}{RQ}\cdot \frac{2}{3}=1$、$\frac{BR}{RQ}=\frac{3}{4}$。

$$\therefore BR:RQ=3:4$$

まとめ: 質点法なら「内分比 → 重さ」「交点 → 重さの逆比」で機械的に進む。メネラウスでも同じ答え。2通りで一致を確かめられるのが強みだ。

発展 — 一歩先へ。 重さの組 $(2,4,1)$ の意味はもっと深い。交点は $R=\frac{2A+4B+1\cdot C}{2+4+1}$、つまり重みつき平均そのものになっている(重心座標)。あらゆる「線分の交点の比」の問題が、この3つの数の割り算に還元される。

別解

座標でパラメータを解く(第3の道)。 比の道具をまだ信じ切れないときは、座標で交点を出してしまえばよい。

$A(0,0),B(1,0),C(0,1)$ とすると、$P=\left(\frac{2}{3},0\right)$、$Q=\left(0,\frac{1}{3}\right)$。

直線 BQ 上の点は $B+t(Q-B)=(1-t,\frac{t}{3})$、直線 CP 上の点は $C+u(P-C)=\left(\frac{2u}{3},1-u\right)$。成分を等しくおいて

$$1-t=\frac{2u}{3},\frac{t}{3}=1-u$$

第2式から $t=3-3u$。第1式に入れて $u=\frac{6}{7}$、$t=\frac{3}{7}$。よって

$$R=\left(\frac{4}{7},\frac{1}{7}\right),BR:RQ=t:(1-t)=\frac{3}{7}:\frac{4}{7}=3:4$$

パラメータ $t$ が「B からどれだけ進んだか」の割合そのものなので、比が直接読める。しかも $R=\frac{2A+4B+C}{7}$ を検算すると質点法の重さ $(2,4,1)$ がそのまま現れる。3つの道具(質点・メネラウス・座標)が同じ1点を指す様子は壮観だ。