内分点が作る三角形の面積比

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内側の $△DEF$ をじかに求めるのは大変だ。全体から3隅の三角形を引く。これが定石になる。

各隅の三角形は、「頂点を共有する2辺の比の積」で $△ABC$ の何倍かがすぐ出る($△AFE$ なら $\frac{AF}{AB}\cdot \frac{AE}{AC}$ 倍)。この公式は、はさむ角が共通なので、面積 $\frac{1}{2}\cdot (2辺)\sin \theta$ の比がそのまま辺の比の積になることから来る。

3つ足して $1$ から引けば、$△DEF$ の割合だ。

① 各辺の比を読む。 D は BC を $1:2$、E は CA を $3:1$、F は AB を $2:3$。頂点ごとに、そこから出る2辺の比を取り出す:

• 頂点 A:$\frac{AF}{AB}=\frac{2}{5}$、$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$(E は CA を $3:1$ なので $CE:EA=3:1$、$AE=\frac{1}{4}AC$)
• 頂点 B:$\frac{BF}{BA}=\frac{3}{5}$、$\frac{BD}{BC}=\frac{1}{3}$
• 頂点 C:$\frac{CD}{CB}=\frac{2}{3}$、$\frac{CE}{CA}=\frac{3}{4}$

② 3隅の面積(全体を $1$ として)。

$$△AFE=\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10},△BFD=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{5},△CDE=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{2}$$

③ 引く。

$$\frac{△DEF}{△ABC}=1-\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{5}+\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1+2+5}{10}=1-\frac{8}{10}=\frac{1}{5}$$

まとめ: 内側を直接でなく「全体 $-$ 3隅」で攻め、各隅を2辺の比の積で出す。3つの比 $\frac{1}{10},\frac{1}{5},\frac{1}{2}$ を足して $1$ から引くだけだ。

発展 — 一歩先へ。 3辺の分け方を一般の比にした答えを一気に与える公式が、ラウスの定理として知られている。たとえば3辺すべてを $1:2$ に分けると、内側の三角形はちょうど $\frac{1}{7}$ になる(有名な「7分の1の三角形」)。本問の解き方(全体−3隅)は、その定理の証明そのものでもある。

別解

座標に置いて機械的に(検算ルート)。 比の議論に不安が残るときは、座標が最終兵器になる。面積比は三角形の形によらないから、いちばん計算しやすい直角三角形 $A(0,0),B(1,0),C(0,1)$ で確かめてよい。

分点を座標にすると

$$F=\left(\frac{2}{5},0\right),D=\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right),E=\left(0,\frac{1}{4}\right)$$

(D は $B+\frac{1}{3}(C-B)$、E は $AE=\frac{1}{4}AC$。)3点の面積公式で

$$△DEF=\frac{1}{2}\left|x_D(y_E-y_F)+x_E(y_F-y_D)+x_F(y_D-y_E)\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{12}\right|=\frac{1}{10}$$

$△ABC=\frac{1}{2}$ だから比は $\frac{1}{5}$。本解と一致した。

「比だけの問題は、都合のよい三角形で計算してよい」— この自由は、アフィン変換で面積比が保たれることから来ている。答案の主役には比の議論を、検算には座標を、と使い分けたい。