接線と割線(方べきと接弦定理)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 P から円へ、接線 PA と割線 PBC が出ている典型配置だ。

長さは方べきの定理 $P{A}^2=PB\cdot PC$ で一発。比 $AB:AC$ は、接弦定理(接線と弦の作る角 $=$ その弦の上に立つ円周角)から $\angle PAB=\angle PCA$ が言え、$\angle P$ が共通なので $△PAB\sim △PCA$。この相似の対応辺の比が $AB:AC$ を与える。

① 接線の長さ。

$$P{A}^2=PB\cdot PC=4\cdot 9=36⟺PA=6$$

② 相似を作る。

$\angle PAB=\angle PCA$、$\angle APB=\angle CPA$(共通)より $△PAB\sim △PCA$。

③ 相似比。 対応する辺の比は

$$\frac{AB}{CA}=\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}$$

$\frac{PA}{PC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ だから

$$AB:AC=2:3$$

まとめ: 同じ点からの接線・割線 → 方べきで長さ、接弦定理 → 相似で比、の2段構え。$PA$ が「大きい三角形の短辺」と「小さい三角形の長辺」の役割を兼ねるのが、この相似の急所だ。

発展 — 一歩先へ。 $PA=6$ は $PB=4$ と $PC=9$ の幾何平均 $\sqrt{4\cdot 9}$ になっている。円の大きさや形は1つに決まらないのに、$PA$ と比 $AB:AC$ だけは配置から確定する。「決まるものと決まらないもの」を見分ける目も、この問題の収穫だ。

別解

相似だけで両方とる(方べきを導いて使う)。 実は①の方べきの定理も、②の相似から出てくる。相似を先に立てて、1つの相似から両方の答えを収穫してみよう。

接弦定理と共通角から $△PAB\sim △PCA$(②と同じ)。対応辺の比を書き並べると

$$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}=\frac{AB}{CA}$$

最初の等式から、分母を払って

$$P{A}^2=PB\cdot PC=36,PA=6$$

— 方べきの定理そのものが導けた。続いて第2の等式に値を入れると

$$\frac{AB}{CA}=\frac{PB}{PA}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

答えは本解と同じ。方べきの定理(接線版)の正体は、この接弦相似だったのだ。定理を「使う」だけでなく、依存関係ごと理解しておくと、忘れても現場で復元できる。