円に内接する四角形と外角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円に内接する四角形の武器は「向かい合う角の和が $180^{\circ }$」だ。

(1)は、この性質を2回使うだけ。$\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ }-95^{\circ }=85^{\circ }$、$\angle \mathrm{ABC}=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$。

(2)の外角は、隣の内角と足して $180^{\circ }$。つまり $\angle \mathrm{DCE}=180^{\circ }-\angle \mathrm{BCD}$ で、結果は向かいの内角 $\angle \mathrm{BAD}$ と同じ値になる。「外角=内対角」という言い回しで覚えられている性質だ。

(1) 向かい合う角の和は $180^{\circ }$ なので

$$\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ }-\angle \mathrm{BAD}=180^{\circ }-95^{\circ }=85^{\circ }$$

$$\angle \mathrm{ABC}=180^{\circ }-\angle \mathrm{ADC}=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$$

(2) $\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{E}$ は一直線上にあるので、$\angle \mathrm{BCD}$ と $\angle \mathrm{DCE}$ をたすと $180^{\circ }$。

$$\angle \mathrm{DCE}=180^{\circ }-\angle \mathrm{BCD}=180^{\circ }-85^{\circ }=95^{\circ }$$

まとめ:これは向かいの内角 $\angle \mathrm{BAD}=95^{\circ }$ と一致する。内接四角形の外角は、向かいの内角に等しい。

発展 — 一歩先へ。 この性質は逆も成り立つ。「向かい合う角の和が $180^{\circ }$ なら、その四角形は円に内接する」。4点が同一円周上にあることを示す道具(共円条件)として、証明問題で頻繁に使われる。

「外角=内対角」も共円の判定に使える形だ。図の中に円が見えないのに角の条件だけが与えられたら、「隠れた円があるのでは」と疑う。その嗅覚がこの単元の応用力である。

別解

「対角の和 $180^{\circ }$」の出どころまで見える、弧で読む方法もある。

円周角は見ている弧の半分だった。$\angle \mathrm{BAD}=95^{\circ }$ は、$\mathrm{A}$ の向かい側の弧 $\mathrm{BCD}$ を見ているから、弧 $\mathrm{BCD}=190^{\circ }$。

すると残りの弧 $\mathrm{BAD}$ は $360^{\circ }-190^{\circ }=170^{\circ }$。これを見るのが $\angle \mathrm{BCD}$ だから

$$\angle \mathrm{BCD}=\frac{170^{\circ }}{2}=85^{\circ }$$

向かい合う2つの角は、円周を2つに割った弧をそれぞれ半分ずつ見ている。だから和は必ず $\frac{360^{\circ }}{2}=180^{\circ }$。性質の証明そのものが、計算の中に現れた。

弧の言葉に降りると、内接四角形の性質・円周角・接弦定理が全部「弧の半分」という1つの文法で読めるようになる。