接点への線が1点で交わる

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3直線が1点で交わることの証明は、チェバの定理の逆(積が $1$ なら共点)を使うのが定石だ。

必要な線分比 $\frac{BD}{DC},\frac{CE}{EA},\frac{AF}{FB}$ は、「円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しい」という性質でそろえられる。各頂点から出る2つの接線が等しいので、積を作ると分子分母がすべて打ち消し合って $1$ になる。そう読めればよい。

① 接線の長さ。 接点 D, E, F について、各頂点からの接線の長さが等しいから

$$AF=AE,BD=BF,CD=CE$$

(これらを $x=AF=AE,y=BD=BF,z=CD=CE$ とおける。$x=s-a,y=s-b,z=s-c$。)

② チェバの積。 チェバの定理の左辺に代入:

$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=\frac{y}{z}\cdot \frac{z}{x}\cdot \frac{x}{y}=1$$

③ 結論。 積が $1$ になったので、チェバの定理の逆により3直線 AD, BE, CF は1点で交わる。

まとめ: 接線の長さが等しい($BD=BF$ 型)を3頂点で書くと、チェバの積が $\frac{y}{z}\cdot \frac{z}{x}\cdot \frac{x}{y}=1$ ときれいに消える。この交点はジェルゴンヌ点と呼ばれる。

発展 — 一歩先へ。 内接円の代わりに3つの傍接円の接点で同じことをすると、やはり3直線が1点で交わる(ナーゲル点)。接点の位置は $s-a$ たちの並び替えで、チェバの積はまた $1$ に畳まれる。「接線の長さの等式 → チェバ」という本問の型は、点の名前を変えて何度でも働く。

別解

重さを置いて重心として見つける(質点法ルート)。 チェバの逆を使わずに、交点そのものを構成してしまう道もある。

頂点 A, B, C に、重さ $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$($x=AF=AE$ など①の長さ)を置く。

すると辺 AB 上の釣り合い点は、$AF:FB=x:y$ を(重さの逆比で)ちょうど満たす点、つまり接点 F になる。同様に、BC の釣り合い点は D、CA の釣り合い点は E。

てこの原理から、3点に置いた重さ全体の重心 G は、「A と(BC の釣り合い点 D)を結ぶ線分の上」にある。同じ理由で BE の上にも、CF の上にもある。つまり AD, BE, CF はすべて重心 G を通る。共点だ。

チェバの定理を経由せず、交わる1点を重さの言葉で名指しする構成的な証明。ジェルゴンヌ点とは、重さ $\left(\frac{1}{s-a},\frac{1}{s-b},\frac{1}{s-c}\right)$ の重心のことだった、という種明かしでもある。