数学A / 図形の性質

3中線の長さの2乗の和

最難関編中線定理計量

問題

$△ A B C$ の3辺の長さを $a = B C, b = C A, c = A B$ とし、各頂点から対辺の中点に引いた中線の長さを $m_{a}, m_{b}, m_{c}$ とする。 $m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ が成り立つことを示せ。

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中線 $m_{a}$ の2乗は中線定理で $\frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ 。 $m_{b}, m_{c}$ も同様に書いて3つ足すと、 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ がそれぞれ何回現れるか数えられるか。

解答・解説

方針

中線定理(パップスの定理)より $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ 。同様に $m_{b}^{2}, m_{c}^{2}$ を書き、3つ足すと各辺の2乗が $3$ 回ずつ現れる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 中線の長さの2乗は、中線定理(パップスの定理)で辺の長さの式に書ける: $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ 。 $m_{b}^{2}, m_{c}^{2}$ も同じ形だ。

これを3つ足すと、 $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ が対称に足し合わされて、係数がそろう。左辺・右辺とも $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ の定数倍になるはず、と見当をつけて計算する。

定理中線定理:

△ A B C

の頂点 A から辺 BC の中点への中線

m_{a}

について

m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}

① 各中線の2乗。 中線定理より

$m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}, m_{b}^{2} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{4}, m_{c}^{2} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{4}$

② 3つ足す。 分子で $a^{2}$ の係数を数える。 $m_{a}^{2}$ から $- 1$ 、 $m_{b}^{2}$ から $+ 2$ 、 $m_{c}^{2}$ から $+ 2$ 、合計 $3$ 。 $b^{2}, c^{2}$ も対称に $3$ 。したがって

$m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3 a ^{2} + 3 b ^{2} + 3 c ^{2}}{4} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

まとめ: 中線定理で各中線を辺の式に直し、足すと係数が対称に $3$ にそろう。 $- 1 + 2 + 2 = 3$ の帳尻が3辺すべてで合うので、きれいに $\frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ になる。検算は正三角形( $a = b = c = 2$ 、 $m = 3$ )で、 $3 \cdot 3 = 9 = \frac{3}{4} \cdot 12$ ✓。

発展 — 一歩先へ。 3本の中線は(ベクトルとして足すと0になるので)それ自身で三角形を作れる。その「中線三角形」の面積は、もとの三角形のちょうど $\frac{3}{4}$ 倍。長さの2乗の和にも面積にも、同じ $\frac{3}{4}$ が顔を出すのは偶然ではない。

答

中線定理から $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ 等を作り、3つ足す

別解

重心を原点に置くベクトルの一撃(得意な人向け)。 ベクトル(数C)を先取りできるなら、この恒等式は2行になる。

重心 G を原点にとる。すると $A + B + C = 0$ だ。A から BC の中点への中線ベクトルは

$\frac{B + C}{2} - A = \frac{- A}{2} - A = - \frac{3}{2} A$

つまり中線の長さは $m_{a} = \frac{3}{2} ∣ A ∣$ 。よって

$m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{9}{4} (∣ A ∣^{2} + ∣ B ∣^{2} + ∣ C ∣^{2})$

一方、辺は $a^{2} = ∣ B - C ∣^{2}$ など。 $A + B + C = 0$ を2乗した関係を使って整理すると $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3 (∣ A ∣^{2} + ∣ B ∣^{2} + ∣ C ∣^{2})$ が出る。2つを比べて

$m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{3} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

「中線は重心でつながり、重心から見ると中線ベクトルは $- \frac{3}{2} A$ 」— 中線定理を3回使う代わりに、重心の対称性が全部を一度に片づけてくれる。

ポイント

中線定理 $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ 。
3つ足すと各辺の2乗の係数が $- 1 + 2 + 2 = 3$ 。
$\frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ 。

よくある間違い

中線定理の形 $b^{2} + c^{2} = 2 m_{a}^{2} + \frac{a ^{2}}{2}$ から $m_{a}^{2}$ に直すときの係数ミス。両辺を丁寧に整理する。
係数勘定 $- 1 + 2 + 2$ の符号を落とす。表にして $a^{2}, b^{2}, c^{2}$ の行ごとに数える。
答えの $\frac{3}{4}$ と $\frac{4}{3}$ を取り違える。正三角形( $a = 2, m = 3$ )の検算で即座に判別できる。