数学A / 図形の性質

傍接円の半径

最難関編傍接円面積

問題

$△ A B C$ の面積を $S$ 、 $s = \frac{a + b + c}{2}$ とする。辺 BC の側にある傍接円(辺 BC に接し、他の2辺の延長に接する円)の半径 $r_{a}$ は $r_{a} = \frac{S}{s - a}$ で与えられる。これを用いて、3辺が $13, 14, 15$ の三角形で、長さ $14$ の辺に接する傍接円の半径を求めよ。

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まず面積 $S$ をヘロンで求める。傍接円の公式 $r_{a} = \frac{S}{s - a}$ に、 $14$ を「 $a$ 」として代入する( $s - a = s - 14$ )。 $S, s$ の値を入れるだけ。

解答・解説

方針

面積を傍接円の中心から3辺(2辺は延長)への距離で分割して $S = r_{a} (s - a)$ を導く。 $13, 14, 15$ の三角形は $S = 84, s = 21$ だから $r_{a} = \frac{84}{21 - 14}$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 傍接円の半径の公式 $r_{a} = \frac{S}{s - a}$ を使う問題だ。まず面積 $S$ をヘロンで確定し、 $14$ を「辺 $a$ 」とみなして $s - a$ を計算し、代入する。

公式自体の出どころも押さえておきたい。傍接円の中心から3つの辺(うち2辺は延長線)への距離が等しく $r_{a}$ で、面積を符号つきで分割すると $S = r_{a} (s - a)$ になる(別解で導く)。

公式傍接円の半径

r_{a} = \frac{S}{s - a}

(

S

は面積、

s

は周の半分)

① 面積(ヘロン)。 $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ 。

$S = 21 (21 - 13) (21 - 14) (21 - 15) = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056 = 84$

② 傍接円の半径。 長さ $14$ の辺を $a$ とすると $s - a = 21 - 14 = 7$ 。

$r_{a} = \frac{S}{s - a} = \frac{84}{7} = 12$

13-14-15 の三角形と、辺 BC(=14)に接する傍接円。中心(傍心)は BC の下側にあり、辺 BC と、辺 AB・AC の延長(破線)に接する。半径は 12

まとめ: 面積をヘロンで出し、傍接円の公式 $r_{a} = \frac{S}{s - a}$ に代入する。内接円 $r = \frac{S}{s} = 4$ と比べると、傍接円は $s$ の代わりに $s - a$ で割る。だから内接円よりずっと大きくなりうる(本問では3倍)。

発展 — 一歩先へ。 この三角形の4つの円の半径は $r = 4, r_{a} = 12, r_{b} = 14, r_{c} = 10.5$ 。掛けてみると $4 \times 12 \times 14 \times 10.5 = 7056 = 8 4^{2}$ 。実は一般に $r r_{a} r_{b} r_{c} = S^{2}$ が成り立つ(ヘロンの公式の分解 $S^{2} = s (s - a) (s - b) (s - c)$ そのもの)。4つの円が面積を通じて1本の式に結ばれている。

答

$12$

別解

公式を面積の分割で導く(種明かしルート)。 $r_{a} = \frac{S}{s - a}$ を、証明ごと手に入れよう。

傍接円の中心(傍心)を $I_{A}$ とする。 $I_{A}$ から辺 BC、および辺 AB, AC の延長線への距離は、すべて半径 $r_{a}$ だ。

三角形 ABC の面積を、 $I_{A}$ を頂点とする3つの三角形で符号つきに表す。 $I_{A}$ は BC の向こう側にいるから

$S = △ I_{A} A B + △ I_{A} A C - △ I_{A} B C = \frac{c r _{a}}{2} + \frac{b r _{a}}{2} - \frac{a r _{a}}{2}$

(はみ出した2つから、余計に含んだ $△ I_{A} B C$ を引く。)整理して

$S = \frac{r _{a} ( b + c - a )}{2} = r_{a} (\frac{a + b + c}{2} - a) = r_{a} (s - a)$

これが公式の正体だ。内接円の $S = r s$ は「3つの三角形を全部足す」、傍接円は「2つ足して1つ引く」。符号の違いが、分母の $s$ と $s - a$ の違いにそのまま写っている。

ポイント

ヘロンで $S = 84$ 、 $s = 21$ 。
$14$ を $a$ とみて $s - a = 7$ 。
$r_{a} = \frac{84}{7} = 12$ 。

よくある間違い

$s - a$ の $a$ を取り違える。「接する辺」の長さが $a$ 。本問なら $a = 14$ で $s - a = 7$ 。
内接円の公式 $S = r s$ と混同して $\frac{84}{21} = 4$ を答える。それは内接円の半径。
導出で3つの三角形を全部足してしまう。傍心は三角形の外にいるので、1つは引く(符号つき分割)。