チェバの定理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角形の内部の $1$ 点から、$3$ 頂点を通る線が $3$ 辺を切っている — この形はチェバの定理の出番だ。

$$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$$

急所は、比の"向き"をそろえること。 分子・分母の文字を見てほしい。

$$\underset{\text{1つ目}}{\underbrace{\mathrm{B}\to \mathrm{D}\to \mathrm{C}}}\to \underset{\text{2つ目}}{\underbrace{\mathrm{C}\to \mathrm{E}\to \mathrm{A}}}\to \underset{\text{3つ目}}{\underbrace{\mathrm{A}\to \mathrm{F}\to \mathrm{B}}}\to (\mathrm{B}\text{に戻る})$$

$\mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{A}\to \mathrm{B}$ と、三角形を一周している。 前の分母の文字が、次の分子の文字になる — しりとりのように連なるのだ。

この向きさえ守れば、あとは代入して解くだけである。

三角形の頂点 $\to$ 辺 $\to$ 次の頂点…とぐるっと一周する順に、辺を分ける比をかけると $1$ になる、という式だ。

分かっている値を入れる。

$$\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{1}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$$

左の2つをかけると $\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{1}=3$ なので

$$3\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1\Rightarrow \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=\frac{1}{3}$$

発展 — 一歩先へ。 チェバの定理は、逆も成り立つ。

$$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1⟹\mathrm{AD},\mathrm{BE},\mathrm{CF}\text{は 1 点で交わる}$$

この逆こそが本当に強力だ。「$3$ 本の線が $1$ 点で交わることを証明せよ」という難問が、比の積を計算するだけの作業に変わる。

たとえば「$3$ 本の中線は $1$ 点で交わる(重心の存在)」の証明。中線なら $\mathrm{BD}=\mathrm{DC}$、$\mathrm{CE}=\mathrm{EA}$、$\mathrm{AF}=\mathrm{FB}$ だから

$$1\times 1\times 1=1$$

チェバの逆より、$1$ 点で交わる。証明終わり。

同じ手で「$3$ 本の角の二等分線は $1$ 点で交わる(内心の存在)」も証明できる。角の二等分線の定理から $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{c}{b}$ などとなり、$3$ つ掛けると分子分母がきれいに約分されて $1$ になるのだ。

「$3$ 本が $1$ 点で交わる」という奇跡のような主張が、掛け算 $1$ 回で片づく。 チェバの定理の逆は、五心の存在証明を統一的に与える — 定理の逆に、本当の力が宿っている好例である。

別解

公式を使わず、「重り」で解く方法がある。質量法(てこの原理)と呼ばれ、慣れると暗算で答えが出る。

発想: 頂点に重りを置いて、シーソーでつり合わせる。

点 $\mathrm{D}$ は $\mathrm{BC}$ 上のシーソーの支点だと思う。$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=\frac{3}{2}$ ということは、$\mathrm{B}$ 側の腕が長く、$\mathrm{C}$ 側の腕が短い。

てこの原理: 重い側が支点に近い。 腕の長さと重さは反比例するから

$$(\mathrm{B}\text{の重り}):(\mathrm{C}\text{の重り})=\mathrm{DC}:\mathrm{BD}=2:3$$

$\mathrm{B}$ に $2$、$\mathrm{C}$ に $3$ を置く。

次に、点 $\mathrm{E}$ で同じことをする。 $\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{2}{1}$ だから

$$(\mathrm{C}\text{の重り}):(\mathrm{A}\text{の重り})=\mathrm{EA}:\mathrm{CE}=1:2$$

$\mathrm{C}$ の重りはもう $3$ と決まっている。 比 $1:2$ を保つには、$\mathrm{A}$ の重りは $3$ の $2$ 倍で $6$。

これで $3$ 頂点の重りが決まった。

$$\mathrm{A}=6,\mathrm{B}=2,\mathrm{C}=3$$

あとは $\mathrm{F}$ を読むだけ。 $\mathrm{F}$ は $\mathrm{AB}$ 上の支点だから、てこの原理で

$$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=\frac{(\mathrm{B}\text{の重り})}{(\mathrm{A}\text{の重り})}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

チェバの定理と同じ答え ✓。公式を $1$ 度も使っていない。

なぜこれでうまくいくのか。 $3$ 頂点に重りを置くと、その全体の重心がちょうど $3$ 本の線の交点になる。「$\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ の重りをまとめると $\mathrm{D}$ に $5$ の重りを置いたのと同じ」「$\mathrm{A}$ の $6$ と $\mathrm{D}$ の $5$ がつり合う点が交点」— $3$ 本の線が $1$ 点で交わることまで、この見方は説明してくれるのだ。

質量法の強み。

• 比の向きを間違えない(重りの比は、腕の長さと逆 — これだけ)
• 暗算しやすい(整数の重りを次々に決めるだけ)
• 公式を忘れても解ける

弱点は、外分がからむとき(メネラウスの定理の状況)。そこでは「負の重り」を使う必要が出てきて、少し扱いにくい。内部で交わるチェバ型なら質量法、外に飛び出すメネラウス型なら公式 — 使い分けるとよい。

物理の直感が、幾何の定理を解く。 数学の道具は、$1$ つの分野に閉じていない。