弧の比と円周角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円周角は、見ている弧の大きさに比例する。弧の比が与えられたら、角の比も同じだ。

注意はただ1点、「どの角がどの弧を見ているか」。$\angle \mathrm{A}$ が見るのは、$\mathrm{A}$ を含まない向かいの弧 $\mathrm{BC}$ である。

まず弧全体 $360^{\circ }$ を $2:3:4$ に配分して中心角を出し、円周角はその半分。対応さえ間違えなければ、機械的に終わる。

弧全体は $360^{\circ }$。これを $2:3:4$(合計 $9$)に分けると、各弧の中心角は

$$\text{弧}\mathrm{AB}=360^{\circ }\times \frac{2}{9}=80^{\circ },\text{弧}\mathrm{BC}=120^{\circ },\text{弧}\mathrm{CA}=160^{\circ }$$

各頂点の角は、その頂点の「向かい」にある弧を見た円周角(中心角の半分)だ。

$$\angle \mathrm{A}=\frac{\text{弧}\mathrm{BC}}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$

$$\angle \mathrm{B}=\frac{\text{弧}\mathrm{CA}}{2}=\frac{160^{\circ }}{2}=80^{\circ }$$

$$\angle \mathrm{C}=\frac{\text{弧}\mathrm{AB}}{2}=\frac{80^{\circ }}{2}=40^{\circ }$$

確かめると $60^{\circ }+80^{\circ }+40^{\circ }=180^{\circ }$ で内角の和に合う。

発展 — 一歩先へ。 「弧の比=円周角の比」は、円周角の定理のいちばん実用的な読み方だ。弦の長さの比はこうはいかない(弦は $\sin$ を通じて弧と結びつく。正弦定理の世界)ので、「比例するのは弧まで」という限界も知っておきたい。

円周上に点を増やした問題(円周を $n$ 等分した点から作る三角形の内角、鋭角・直角・鈍角三角形の個数など)も、全部この「弧の配分」の発想で数えられる。

別解

中心角を経由せず、内角の和 $180^{\circ }$ を直接配分する近道もある。

3つの内角 $\angle \mathrm{A},\angle \mathrm{B},\angle \mathrm{C}$ は、それぞれ弧 $\mathrm{BC},\mathrm{CA},\mathrm{AB}$ を見ている。円周角は弧に比例するから

$$\angle \mathrm{A}:\angle \mathrm{B}:\angle \mathrm{C}=3:4:2$$

(弧の比 $2:3:4$ を、向かいの角に付け替えた並びだ。)

内角の和は $180^{\circ }$。これを $3:4:2$ に配分して

$$\angle \mathrm{A}=180^{\circ }\times \frac{3}{9}=60^{\circ },\angle \mathrm{B}=80^{\circ },\angle \mathrm{C}=40^{\circ }$$

$360^{\circ }$ を配って半分にする本解と、$180^{\circ }$ を配る別解。半分の操作を先に済ませるか後で済ませるかの違いで、答えはもちろん一致する。対応の付け替え($2:3:4\to 3:4:2$)さえ確実なら、この直行便が最短だ。