チェバとメネラウスの併用

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 線分の交点の比を求めたい。使う道具は、その交点を含む三角形と、それを横切る直線を選んでメネラウスを当てることだ。

図の中から舞台となる三角形を選び出す構想力が主役になる。

$1$ つの交点につき、適切な三角形を $1$ 回見つける。方針を立ててから式に入る。

① $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$ を求める。$△\mathrm{ADC}$ を直線 $\mathrm{BPE}$ が横切るとみる。

辺 $\mathrm{AD}$ を $\mathrm{P}$、辺 $\mathrm{DC}$ の延長を $\mathrm{B}$、辺 $\mathrm{CA}$ を $\mathrm{E}$ で切る。

$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1$$

ここで辺 $\mathrm{DC}$ 上には $\mathrm{D}$、$\mathrm{C}$ に加えて、その延長上の $\mathrm{B}$ がのっている。$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=1:2$ なので、長さを $\mathrm{DB}=1$、$\mathrm{DC}=2$ とおくと $\mathrm{BC}=\mathrm{DB}+\mathrm{DC}=3$。よって $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}}=\frac{1}{3}$。また $\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=1:3$ から $\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{1}{3}$。

$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=1\Rightarrow \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}=9$$

よって $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=9:1$。

② $\mathrm{BP}:\mathrm{PE}$ を求める。今度は $△\mathrm{BEC}$ を直線 $\mathrm{APD}$ が横切るとみる。

辺 $\mathrm{BE}$ を $\mathrm{P}$、辺 $\mathrm{EC}$ を $\mathrm{A}$(延長)、辺 $\mathrm{CB}$ を $\mathrm{D}$ で切る。

$$\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}\cdot \frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{AC}}\cdot \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{DB}}=1$$

$\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{4}$($\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=1:3$ なので $\mathrm{AC}=4$ 中 $\mathrm{EA}=3$)、$\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{DB}}=\frac{2}{1}$。

$$\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{1}=1\Rightarrow \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}\cdot \frac{3}{2}=1\Rightarrow \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}=\frac{2}{3}$$

よって $\mathrm{BP}:\mathrm{PE}=2:3$。

まとめ:2直線の交点の比は、片方の直線を「横切る線」とみて、もう一方を含む三角形にメネラウス。どの三角形の・どの3辺を切るかを図で先に決めてから比を書くと、順番を間違えない。

発展 — 一歩先へ。 交点の比が分かると、面積比もすぐ出る。三角形 $\mathrm{PBC}$ と $\mathrm{ABC}$ は底辺 $\mathrm{BC}$ が共通で、高さの比は $\mathrm{P}$ と $\mathrm{A}$ の $\mathrm{BC}$ からの距離の比になる。$\mathrm{P}$ は $\mathrm{AD}$ を $9:1$ に分け、$\mathrm{D}$ は $\mathrm{BC}$ 上(高さ $0$)だから、$\mathrm{P}$ の高さは $\mathrm{A}$ の $\frac{1}{10}$。よって $△\mathrm{PBC}=\frac{1}{10}△\mathrm{ABC}$ となる。

こうした比は、三角形の形にはよらない。分点の比だけで決まる。長さや角度を変えても分点の比は保たれるからだ。だから計算しやすい特別な三角形で調べれば、一般の三角形でも同じ答えになる。

別解

別解 — 位置ベクトルで交点を一気に出す(得意な人向けの視点)。 $\mathrm{A}$ を原点にとり、$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}$、$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{c}$ とおく。

$\mathrm{D}$ は $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=1:2$ に分けるから $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}$。$\mathrm{E}$ は $\mathrm{CA}$ を $\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=1:3$ に分けるから $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{3}{4}\vec{c}$。

$\mathrm{P}$ を $\mathrm{AD}$ 上と $\mathrm{BE}$ 上の両方で表す。$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ と、$\mathrm{B}$ から $\mathrm{E}$ へ $t$ だけ進んだ $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1-t)\vec{b}+\frac{3t}{4}\vec{c}$。$\vec{b},\vec{c}$ の係数を比べて

$$\frac{2s}{3}=1-t,\frac{s}{3}=\frac{3t}{4}.$$

これを解くと $t=\frac{2}{5}$、$s=\frac{9}{10}$。$s$ は $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ の割合だから $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=\frac{9}{10}:\frac{1}{10}=9:1$。$t$ は $\overrightarrow{\mathrm{BP}}=t\overrightarrow{\mathrm{BE}}$ の割合だから $\mathrm{BP}:\mathrm{PE}=\frac{2}{5}:\frac{3}{5}=2:3$。

メネラウスを使わず、連立 $1$ 次方程式を解くだけで本解と同じ $9:1$、$2:3$ に着く。