正八面体とねじれの位置

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は「面の情報から数え上げる」。面は8枚、各面は三角形で辺が3本。ただし辺は2つの面に共有されるから、$8\times 3$ をそのまま辺の数にはできない。

共有のぶんで割る、が急所だ。頂点も同じ発想で数えられるし、オイラーの定理 $v-e+f=2$ で逆算・検算もできる。

(2)の「ねじれの位置」は、「平行でなく、交わりもしない」こと。正面から探すより、平行な辺と交わる辺を除いて残りを数えるほうが確実だ。

(1) 面は正三角形が $f=8$ 枚。1枚に辺 $3$ 本、1辺は $2$ 面で共有するので

$$e=\frac{3\times 8}{2}=12$$

オイラーの定理に入れる。

$$v-12+8=2\Rightarrow v=6$$

(2) 立方体には辺が全部で $12$ 本。辺 $\mathrm{AB}$ について、他の $11$ 本を分類する。

• $\mathrm{AB}$ と交わる辺(端点 $\mathrm{A}$ か $\mathrm{B}$ を共有):$\mathrm{AD}$、$\mathrm{AE}$、$\mathrm{BC}$、$\mathrm{BF}$ の $4$ 本
• $\mathrm{AB}$ と平行な辺:$\mathrm{DC}$、$\mathrm{EF}$、$\mathrm{HG}$ の $3$ 本

残りが「平行でも交わりでもない」= ねじれの位置。

$$11-4-3=4(\text{本})$$

まとめ:具体的には $\mathrm{CG}$、$\mathrm{DH}$、$\mathrm{FG}$、$\mathrm{EH}$ の $4$ 本。

発展 — 一歩先へ。 「$\times$(1つあたりの個数)$÷$(共有の重複)」という数え方は、正多面体5種すべてに通用する。正十二面体なら $e=\frac{12\times 5}{2}=30$、$v=\frac{12\times 5}{3}=20$、という具合だ。

オイラーの定理 $v-e+f=2$ は、どんな凸多面体でも成り立つ驚くべき等式で、「正多面体が5種類しかない」ことの証明の心臓部でもある。数え上げの検算道具として使いながら、その普遍性も味わってほしい。

別解

(1)は、オイラーの定理を使わず「共有で割る」だけで両方数え切れる。

辺: 8枚の面が3本ずつ辺を持ち、どの辺もちょうど2枚の面に挟まれる。

$$e=\frac{8\times 3}{2}=12$$

頂点: 8枚の面が3個ずつ頂点を持ち、正八面体ではどの頂点にも4枚の面が集まる。

$$v=\frac{8\times 3}{4}=6$$

仕上げにオイラーの定理で検算すると $6-12+8=2$。合格だ。

(2)は「在庫管理」で数える。立方体の辺は全部で12本。$\mathrm{AB}$ 自身が1本、$\mathrm{AB}$ に平行な辺が3本、$\mathrm{AB}$ と交わる辺($\mathrm{A}$ か $\mathrm{B}$ を通る辺)が4本。残りがねじれの位置で

$$12-1-3-4=4(\text{本})$$

「全体から分類して引く」と、数え落としが構造的に起きない。