3本の中線でない線と面積比

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内側にできる三角形の面積は、直接は測れない。そこで「全体から $3$ つのはみ出し部分を引く」という引き算の構図を立てる。

各はみ出しの面積比は、交点の比から求まる。交点の比はメネラウスで出す。

「面積比は辺の比の積」という橋渡しを、$3$ 方向で繰り返し使う総合問題だ。

① 1本の線が交点で分けられる比を、メネラウスで求める。 線 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とし、$△\mathrm{ADC}$ に直線 $\mathrm{BPE}$ を当てる(先ほどと同じ要領)。

$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1$$

$\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}}=\frac{1}{3}$、$\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{1}{2}$ を入れて

$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=1\Rightarrow \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}=6\Rightarrow \mathrm{AP}:\mathrm{PD}=6:1$$

② 対称性から、内側の三角形の削られ方を見る。 同じように、内側の三角形の各頂点は、3本の線をそれぞれ $6:1$ の位置で切る。設定が対称なので、内側の三角形は3方向とも同じ削られ方になる。

③ 面積比を求める。 計算(または座標で確認)すると、内側の三角形の面積は

$$\frac{1}{7}△\mathrm{ABC}$$

となる。(実際に $\mathrm{A}(0,0)$、$\mathrm{B}(7,0)$、$\mathrm{C}(2,6)$ で交点を出して面積を計算しても、比はきっかり $\frac{1}{7}$ になる。)

まとめ:3本の線の交点の比はメネラウスで。対称な設定なら3方向とも同じ削られ方になり、内側の三角形は元の $\frac{1}{7}$(各辺を $1:2$ に切るときの有名な結果)。

発展 — 一歩先へ。 この「中央の三角形が元の $\frac{1}{7}$」は、三角形の形にまったくよらない。細長い三角形でも正三角形でも、各辺を $1:2$ に切れば必ず $\frac{1}{7}$ になる。

理由は、面積の「比」がアフィン変換(平行移動・回転・拡大縮小・斜めのゆがみ)で変わらないことにある。どんな三角形も、アフィン変換でほかのどんな三角形にも写せる。変換しても分点の比 $1:2$ は保たれ、面積の比も保たれるから、$1$ つの三角形で確かめた $\frac{1}{7}$ がすべての三角形で通用する。

別解が特定の座標 $\mathrm{A}(0,0),\mathrm{B}(7,0),\mathrm{C}(2,6)$ で計算だけから $\frac{1}{7}$ を出せたのも、この不変性の裏づけがあるからだ。「比を問う問題は、計算しやすい特別な三角形で確かめてよい」——アフィン不変性は、図形の比の問題に効く強力な発想である。

別解

別解 — 座標で全交点と面積を出して裏を取る(計算で確実なルート)。 本解はメネラウスと対称性で押し切り、$\frac{1}{7}$ を有名な結果として認めた。ここでは交点も面積も座標で実際に出し、その値まで詰める。計算しやすい直角三角形 $\mathrm{A}(0,0)$、$\mathrm{B}(6,0)$、$\mathrm{C}(0,6)$ でよい。

各辺を $1:2$ に切る点($\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=1:2$)は

$$\mathrm{D}=(4,2),\mathrm{E}=(0,4),\mathrm{F}=(2,0).$$

$3$ 本の直線は $\mathrm{AD}:y=\frac{x}{2}$、$\mathrm{BE}:y=-\frac{2}{3}x+4$、$\mathrm{CF}:y=-3x+6$。$2$ 本ずつ連立して内側の三角形の頂点を出すと

$$\mathrm{P}=\left(\frac{24}{7},\frac{12}{7}\right),\mathrm{Q}=\left(\frac{6}{7},\frac{24}{7}\right),\mathrm{S}=\left(\frac{12}{7},\frac{6}{7}\right).$$

この $3$ 点で面積を計算すると $\frac{18}{7}$。一方 $△\mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18$。よって

$$\frac{18/7}{18}=\frac{1}{7}.$$

メネラウスと対称性で導く本解に対し、座標なら交点も面積も機械的に出て、本解が結果として認めた $\frac{1}{7}$ を導出まで確かめられる。本解と同じ答え。