数学A / 図形の性質

方べきの定理で線分の長さ

実戦編図形の性質方べきの定理円接線単元横断

問題

点 $P$ から円に接線 $PT$ ( $T$ は接点)を引き、 $PT = 6$ とする。同じ点 $P$ を通る直線が円と $2$ 点 $A, B$ で交わり、 $PA = 4$ とする( $A$ は $P$ に近い方)。線分 $AB$ の長さを求めよ。

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接線と割線の方べき $PT^{2} = PA \cdot PB$ 。 $PB$ を出したら $AB = PB - PA$ 。

解答・解説

方針

接線と割線に関する方べきの定理 $PT^{2} = PA \cdot PB$ で $PB$ を求め、 $AB = PB - PA$ とする。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「接線1本と割線1本」が同じ点 $P$ から出ている。この配置を見たら方べきの定理の出番だ。

接線の長さの2乗が、割線の2つの交点までの距離の積と等しい。 $PT^{2} = PA \cdot PB$ に既知の値を入れれば $PB$ が出る。

最後に聞かれているのは $AB$ であることに注意。 $A$ は $P$ に近い側だから、 $AB = PB - PA$ と引き算になる。

定理方べきの定理(接線と割線):

PT^{2} = PA \cdot PB

P からの接線 PT=6 と割線 PAB。方べき PT²=PA·PB で PB=9、AB=5。

① 方べきの定理。 $PT^{2} = PA \cdot PB ⟹ 6^{2} = 4 \cdot PB ⟹ PB = \frac{36}{4} = 9.$ ② $AB$ を求める。 $A$ が $P$ に近いので $A$ は $P$ と $B$ の間にあり $AB = PB - PA = 9 - 4 = 5.$

まとめ 接線と割線の方べき $PT^{2} = PA \cdot PB$ で $PB = 9$ 、 $AB = 5$ 。方べきの定理と円の融合。接線長の $2$ 乗が割線の積になるのが要。

発展 — 一歩先へ。 積 $PA \cdot PB = d^{2} - r^{2}$ は「点 $P$ の円に関する方べき」とよばれる不変量で、 $P$ が円の内側だと負の値として扱える(このとき2弦の交点の定理になる)。接線・割線・2弦の3つの定理は、1つの量 $d^{2} - r^{2}$ の別々の顔である。

答

方べきの定理(接線と割線) $PT^{2} = PA \cdot PB$ より $36 = 4 \cdot PB$ 、 $PB = 9$ 。 $AB = PB - PA = 9 - 4 = 5$ 。

別解

別解 — 「 $P$ と円だけで決まる量」と見る(得意な人向けの高い視点)。 円の中心を $O$ 、半径を $r$ 、 $OP = d$ とする。接線は接点で半径と直角だから、三平方の定理で $PT^{2} = d^{2} - r^{2}$ 。

一方、割線が中心を通る特別な場合を考えると、 $PA = d - r$ 、 $PB = d + r$ だから

$PA \cdot PB = (d - r) (d + r) = d^{2} - r^{2} .$

つまり接線の2乗も、割線の積も、同じ量 $d^{2} - r^{2}$ を測っている。方べきの定理は「どの直線で切っても $PA \cdot PB$ は一定」という不変量の主張なのだ。

本問の円は $d^{2} - r^{2} = 6^{2} = 36$ 。どの割線でも積は $36$ だから、 $PA = 4$ なら $PB = 9$ と即答できる。

ポイント

接線と割線の方べき $PT^{2} = PA \cdot PB$ 。
$36 = 4 \cdot PB$ で $PB = 9$ 。
$AB = PB - PA = 5$ 。

よくある間違い

$PB$ を $AB$ と混同して $36 = 4 \cdot AB$ と立ててしまう( $PB$ は $P$ から遠い交点までの全長)。
$AB = PB + PA$ と足してしまう( $P$ は円の外で $A$ が手前だから引き算)。
接線と割線の形 $PT^{2} = PA \cdot PB$ と、2弦の形 $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ を混ぜて立式する。