三角形の面積を内接円・外接円半径で(S=abc/4R と S=rs)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 同じ面積 $S$ に2つの顔がある。外接円がらみの $S=\frac{abc}{4R}$ と、内接円がらみの $S=rs$ だ。

2つを等号でつなげば、$r$ と $R$ が1本の式で結ばれる。$r=\frac{abc}{4Rs}$ は割るだけで出る。

正三角形ではすべてが1つの文字 $a$ で書ける。$s=\frac{3a}{2}$、$R$ は正弦定理から。代入して比 $\frac{R}{r}$ を計算すればよい。

① $r$ を表す。 $S=\frac{abc}{4R}$ と $S=rs$ を等号でつなぐと $$rs=\frac{abc}{4R}⟹r=\frac{abc}{4Rs}.$$ ② 正三角形で $R$。 $a=b=c$ のとき、正弦定理 $\frac{a}{\sin 60^{\circ }}=2R$、$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $$2R=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}⟹R=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$ ③ 正三角形で $r$ と比。 $s=\frac{3a}{2}$ を①に入れて $$r=\frac{a^3}{4R\cdot \frac{3a}{2}}=\frac{a^3}{6Ra}=\frac{a^2}{6R}=\frac{a^2}{6\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$ よって $$\frac{R}{r}=\frac{a/\sqrt{3}}{a/(2\sqrt{3})}=2.$$

まとめ $2$ 面積公式を等号でつなぐと $r=\frac{abc}{4Rs}$。正三角形では $R=\frac{a}{\sqrt{3}},r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$ で $\frac{R}{r}=2$。内接円・外接円と面積の融合。共通の面積が橋渡し。

発展 — 一歩先へ。 一般の三角形では $R\ge 2r$ が常に成り立ち、等号は正三角形のときだけ(オイラーの不等式)。背後には外心と内心の距離の公式 ${\mathrm{OI}}^2=R^2-2Rr$ があり、左辺が $0$ 以上であることがそのまま不等式になる。正三角形の $R=2r$ は「外心と内心が重なる」瞬間である。

別解

別解 — 正三角形は「重心=外心=内心」で一撃(苦手な人向け)。 正三角形では、対称性から外心も内心も重心 $\mathrm{G}$ に一致する。しかも中線は垂線を兼ねる。

重心は中線を頂点側から $2:1$ に内分する。中線の長さを $h$ とすると、頂点までの距離が $R=\frac{2}{3}h$、辺までの距離が $r=\frac{1}{3}h$。

$$\frac{R}{r}=\frac{2h/3}{h/3}=2.$$

面積公式を経由せず、重心の $2:1$ がそのまま答えになる。知っている性質どうしがつながる、気持ちのよい近道だ。