内心と角の関係

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内心 I は、各内角の二等分線の交点だ。だから $△IBC$ に注目すると、底の2角 $\angle IBC,\angle ICB$ はそれぞれ $\frac{B}{2},\frac{C}{2}$ と分かる。

あとは $△IBC$ の内角の和 $180^{\circ }$ から $\angle BIC$ を $B,C$ で表し、$A+B+C=180^{\circ }$ を使って $A$ の式に直すだけ。目標の $90^{\circ }+\frac{A}{2}$ が自然に出る。

① $△IBC$ の底の2角。 I は $\angle B,\angle C$ の二等分線上にあるから

$$\angle IBC=\frac{B}{2},\angle ICB=\frac{C}{2}$$

② 内角の和。 $△IBC$ で

$$\angle BIC=180^{\circ }-\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=180^{\circ }-\frac{B+C}{2}$$

③ $A$ に書きかえる。 $A+B+C=180^{\circ }$ より $B+C=180^{\circ }-A$。代入して

$$\angle BIC=180^{\circ }-\frac{180^{\circ }-A}{2}=180^{\circ }-90^{\circ }+\frac{A}{2}=90^{\circ }+\frac{A}{2}$$

まとめ: 内心 → 二等分線 → $△IBC$ の底角 $\frac{B}{2},\frac{C}{2}$、という橋渡しが急所。内角の和を2回使うだけで、$90^{\circ }$ という定数が自然に現れる。検算は正三角形($A=60^{\circ }$)で $\angle BIC=120^{\circ }$、たしかに $90^{\circ }+30^{\circ }$。

発展 — 一歩先へ。 内心の相方、傍心 $I_A$(辺 BC 側の傍接円の中心)では、対になる式 $\angle B{I}_{A}C=90^{\circ }-\frac{A}{2}$ が成り立つ。足すと $180^{\circ }$。つまり B, I, C, $I_A$ は同一円周上にある(内接四角形の対角)。1本の式の裏に、円がもう1つ隠れていた。

別解

外角で組み立てる(もう1つの角度計算)。 内角の和を使わずに、外角の定理2回で作る道もある。

$\angle A$ の二等分線 AI を延長し、辺 BC との交点を D とする。$\angle BIC$ は D をはさんで $\angle BID+\angle DIC$ に割れる。

ここで $\angle BID$ は $△ABI$ の外角だから、遠い2つの内角の和:

$$\angle BID=\angle BAI+\angle ABI=\frac{A}{2}+\frac{B}{2}$$

同様に $\angle DIC=\frac{A}{2}+\frac{C}{2}$。足して

$$\angle BIC=A+\frac{B+C}{2}=A+\frac{180^{\circ }-A}{2}=90^{\circ }+\frac{A}{2}$$

この道の良さは、$90^{\circ }$ の出どころが見えること。$A$ がまるごと1回と、残り $\frac{B+C}{2}$ が半分ずつ。「二等分線たちが角をどう配り直すか」の会計が、式の形にそのまま写っている。