中点連結定理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$2$ 辺の中点を結ぶ」と聞いたら、中点連結定理を思い出す。

$$\mathrm{MN}\parallel \mathrm{BC},\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$$

結論は $2$ つある。 「平行になる」と「長さが半分になる」— どちらも使うので、セットで覚えたい。

(1)は長さの話。$\mathrm{BC}=12$ なら $\mathrm{MN}=6$。同じ長さにしないこと。

(2)は角の話で、ここで平行のほうが効いてくる。$\mathrm{MN}\parallel \mathrm{BC}$ なので、直線 $\mathrm{AB}$ が $2$ 本の平行線を横切る形になる。同位角は等しいから

$$\angle \mathrm{AMN}=\angle \mathrm{ABC}=70^{\circ }$$

平行が見えたら、同位角・錯角を探す。

$\mathrm{M}$、$\mathrm{N}$ は辺の中点なので、この定理がそのまま使える。

(1) $\mathrm{MN}$ は $\mathrm{BC}$ の半分。だから

$$\mathrm{MN}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}=\frac{1}{2}\times 12=6$$

(2) $\mathrm{MN}\parallel \mathrm{BC}$ だった。平行な2直線に $\mathrm{AB}$ が斜めに交わっているので、同じ位置にできる角(同位角)は等しい。

$\angle \mathrm{AMN}$ と $\angle \mathrm{ABC}$ は同位角だから

$$\angle \mathrm{AMN}=\angle \mathrm{ABC}=70^{\circ }$$

発展 — 一歩先へ。 中点連結定理には、意外な応用がある。

どんな四角形でも、$4$ 辺の中点を結ぶと平行四辺形になる。(ヴァリニヨンの定理)

証明は中点連結定理だけでできる。四角形 $\mathrm{ABCD}$ の対角線 $\mathrm{AC}$ を引くと、$△\mathrm{ABC}$ の中点連結から「$\mathrm{AB}$ の中点と $\mathrm{BC}$ の中点を結んだ線分は $\mathrm{AC}$ に平行で長さは半分」。$△\mathrm{ACD}$ でも同じことが言えるので、向かい合う $2$ 辺が平行で長さも等しい — 平行四辺形の条件そのものだ。

元の四角形がどんなにいびつでも(へこんでいても、ねじれた四角形でも!)中点を結べば必ず平行四辺形になる。この普遍性は、ちょっと感動的である。

中点は、図形を"ならす"働きを持つ。 ばらばらな四角形から、整った平行四辺形が現れる。$1$ つの定理が、思わぬ美しさを生む — 幾何学の醍醐味だ。

別解

中点連結定理を「相似」から作り直してみよう。 定理を丸暗記せずに済むし、なぜ「半分」になるのかが腑に落ちる。

$△\mathrm{AMN}$ と $△\mathrm{ABC}$ を比べる。

• $\angle \mathrm{A}$ は共通
• $\mathrm{M}$ は $\mathrm{AB}$ の中点だから $\mathrm{AM}:\mathrm{AB}=1:2$
• $\mathrm{N}$ は $\mathrm{AC}$ の中点だから $\mathrm{AN}:\mathrm{AC}=1:2$

$2$ 辺の比が等しく、そのあいだの角が共通 — これは相似条件そのものだ。

$$△\mathrm{AMN}\sim △\mathrm{ABC}(\text{相似比 }1:2)$$

相似が言えれば、あとは全部ついてくる。

• 対応する辺の比が $1:2$ → $\mathrm{MN}:\mathrm{BC}=1:2$、つまり $\mathrm{MN}=6$ ✓
• 対応する角が等しい → $\angle \mathrm{AMN}=\angle \mathrm{ABC}=70^{\circ }$ ✓(平行を経由しなくても、直接出る)
• ついでに $\mathrm{MN}\parallel \mathrm{BC}$ も、同位角が等しいことから言える

中点連結定理は、相似比 $1:2$ の相似の言いかえだったのだ。

ベクトルで見ると、さらに一瞬で終わる。

$$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{AN}}-\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$$

$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ — この $1$ 本の式が、「平行(向きが同じ)」と「長さが半分」の両方を同時に言っている。

ベクトルの威力がここにある。 図形の $2$ つの結論(平行と長さ)が、$1$ つの等式に圧縮された。数Cで学ぶベクトルは、こういう「まとめて言う」力を持っている。

逆も成り立つ、というのも大事だ。 「$\mathrm{M}$ が $\mathrm{AB}$ の中点で、$\mathrm{MN}\parallel \mathrm{BC}$ なら、$\mathrm{N}$ は $\mathrm{AC}$ の中点」— 平行から中点が言える。台形の面積を求めるとき、この逆向きの使い方が効く。定理は、逆も使えるかどうかを必ず確かめておく。