内接四角形の対角線と相似

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 対角線の交点でも方べきの定理($PA\cdot PC=PB\cdot PD$)が効く。まず(1)はこれで片づく。

さらに(2)では、円のもう $1$ つの武器を使う。「円周角が等しい → 三角形が相似」という関係だ。

同じ弧を見込む円周角の等しさが、相似を生む。この連想を図から起こせるかが問われる。

(1) 対角線は円の2つの弦。交点 $\mathrm{P}$ で方べきの定理。

$$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PC}=\mathrm{PB}\cdot \mathrm{PD}$$

$$4\times 6=3\times \mathrm{PD}\Rightarrow 24=3\mathrm{PD}\Rightarrow \mathrm{PD}=8$$

(2) $△\mathrm{PAB}$ と $△\mathrm{PDC}$ を見る。

弧 $\mathrm{AB}$ を見込む円周角より $\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADB}$、つまり $\angle \mathrm{PAB}=\angle \mathrm{PDC}$。さらに対頂角で $\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{DPC}$。2角が等しいので

$$△\mathrm{PAB}\sim △\mathrm{PDC}$$

相似比は対応する辺の比 $\mathrm{PA}:\mathrm{PD}=4:8=1:2$。よって

$$\mathrm{AB}:\mathrm{DC}=\mathrm{PA}:\mathrm{PD}=1:2$$

発展 — 一歩先へ。 $\mathrm{PA},\mathrm{PB},\mathrm{PC},\mathrm{PD}$ の $4$ つの長さを決めても、四角形は $1$ つに定まらない。対角線のなす角 $\theta$ が自由に残り、大きさの違う内接四角形が連続的に作れる。

それでも $\mathrm{AB}:\mathrm{DC}$ はつねに $1:2$ のまま変わらない。実際 ${\mathrm{AB}}^2=25-24\cos \theta$、${\mathrm{DC}}^2=100-96\cos \theta =4{\mathrm{AB}}^2$ となり、$\theta$ が消えてしまう。相似 $△\mathrm{PAB}\sim △\mathrm{PDC}$ が「角によらず比は一定」を保証しているのだ。

別解

別解 — 対角線を直交させ、座標で長さを測る(具体で確かめるルート)。 比 $\mathrm{AB}:\mathrm{DC}$ は対角線のなす角によらないので、計算しやすい直角の場合で測ってよい。

交点 $\mathrm{P}$ を原点に、対角線 $\mathrm{AC}$ を $x$ 軸、$\mathrm{BD}$ を $y$ 軸にとる。$\mathrm{PA}=4,\mathrm{PC}=6$ から $\mathrm{A}(-4,0),\mathrm{C}(6,0)$。$\mathrm{PB}=3$ から $\mathrm{B}(0,3)$、$\mathrm{PD}$ を $d$ として $\mathrm{D}(0,-d)$。

$4$ 点が同一円周上にある条件(内接四角形)は、方べき $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PC}=\mathrm{PB}\cdot \mathrm{PD}$。$4\cdot 6=3d$ から $d=8$、すなわち $\mathrm{PD}=8$。

これで $\mathrm{D}(0,-8)$。$2$ 点間の距離を計算すると

$$\mathrm{AB}=\sqrt{4^2+3^2}=5,\mathrm{DC}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$$

よって $\mathrm{AB}:\mathrm{DC}=5:10=1:2$。相似を持ち出さず、座標で長さを測るだけで本解と同じ $\mathrm{PD}=8$、$\mathrm{AB}:\mathrm{DC}=1:2$ に着く。