外心・重心・垂心が一直線上にある(オイラー線)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ つの中心を座標で求め、一直線と $1:2$ を確かめる。それぞれの定義に従う。

外心 $\mathrm{O}$ は $3$ 頂点から等距離、つまり垂直二等分線の交点。重心 $\mathrm{G}$ は $3$ 頂点の平均。垂心 $\mathrm{H}$ は各頂点から対辺への垂線の交点。

順に計算すると $\mathrm{O}(3,1)$、$\mathrm{G}\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right)$、$\mathrm{H}(2,2)$。あとは $\mathrm{G}$ が $\mathrm{O}$ と $\mathrm{H}$ を $1:2$ に内分するか($\mathrm{G}=\frac{2\mathrm{O}+\mathrm{H}}{3}$)を確かめれば、$3$ 点が一直線(オイラー線)と分かる。

① 重心 $\mathrm{G}$。 $3$ 頂点の平均で

$$\mathrm{G}=\left(\frac{0+6+2}{3},\frac{0+0+4}{3}\right)=\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right)$$

② 外心 $\mathrm{O}(x,y)$。 $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ より $x^2+y^2=(x-6{)}^2+y^2$、これを解いて $x=3$。$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$ より $x^2+y^2=(x-2{)}^2+(y-4{)}^2$、整理して $4x+8y=20$。$x=3$ を代入し $y=1$。よって $\mathrm{O}(3,1)$。

③ 垂心 $\mathrm{H}(x,y)$。 $\mathrm{A}$ からの垂線は $\mathrm{BC}$ に垂直:$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=0$。$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(-4,4)$ より $-4x+4y=0$、$y=x$。$\mathrm{B}$ からの垂線は $\mathrm{CA}$ に垂直:$\overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=0$。$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=(-2,-4)$ より $-2(x-6)-4y=0$、$x+2y=6$。$y=x$ を代入し $3x=6$、$x=2$。よって $\mathrm{H}(2,2)$。

④ 一直線と比。 $\overrightarrow{\mathrm{OG}}=\left(\frac{8}{3}-3,\frac{4}{3}-1\right)=\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(-1,1)=3\overrightarrow{\mathrm{OG}}$。よって $\mathrm{O},\mathrm{G},\mathrm{H}$ は一直線上にあり、$\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$。

まとめ:外心・重心・垂心はつねに一直線(オイラー線)にあり、重心が外心と垂心を $1:2$ に内分する。座標で $3$ 点を出し、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=3\overrightarrow{\mathrm{OG}}$ を確かめれば、一直線と比が同時に言える。

発展 — 一歩先へ。 オイラー線 $\mathrm{O},\mathrm{G},\mathrm{H}$ 上には、九点円の中心 $\mathrm{N}$($\mathrm{OH}$ の中点)も乗る。座標では $\mathrm{H}=\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}-2\mathrm{O}$、$\mathrm{G}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$ から $\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$ が一般に成り立つ。三角形の主要な中心が $1$ 直線に整然と並ぶ、初等幾何の白眉である。

別解

別解 — 垂心の公式 $\mathrm{H}=\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}-2\mathrm{O}$ で一撃(得意な人向けの視点)。 外心 $\mathrm{O}$ を先に求めれば、垂心は座標を足すだけで出る。外心を原点にとると $\mathrm{H}=\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}$(頂点の位置ベクトルの和)。一般の座標では

$$\mathrm{H}=\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}-2\mathrm{O}.$$

外心 $\mathrm{O}(3,1)$ を求めたら、$\mathrm{H}=(0+6+2,0+0+4)-2(3,1)=(8,4)-(6,2)=(2,2)$。垂線を $2$ 本引いて交点を求める手間が省ける。

重心 $\mathrm{G}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}=\left(\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right)$。オイラー線の関係 $\mathrm{H}-\mathrm{O}=3(\mathrm{G}-\mathrm{O})$ を確かめると、$\mathrm{H}-\mathrm{O}=(-1,1)$、$3(\mathrm{G}-\mathrm{O})=3\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)=(-1,1)$ で一致。$\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$ も出る。

$3$ 点を独立に求める本解に対し、外心 $1$ つから垂心を公式で出すと計算が半分。$\mathrm{H}=\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}-2\mathrm{O}$ は、オイラー線 $\mathrm{H}=3\mathrm{G}-2\mathrm{O}$(と $\mathrm{G}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$)を書き換えたものだ。