角の二等分線の長さ(方べき類似)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「線分の積が等しい」形の等式は、たいてい相似な三角形のペアから出る。$\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AE}}$ と読み替えて、この比を作る2つの三角形を探す。

分子分母の並びから、候補は三角形 $\mathrm{ABD}$ と $\mathrm{AEC}$。等しい角を2組見つけたい。

1組目は仮定から。$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{EAC}$(二等分線)。2組目は円から。$\angle \mathrm{ABD}$ と $\angle \mathrm{AEC}$ は同じ弧 $\mathrm{AC}$ に立つ円周角だ。これで相似がそろう。

① 相似を作る。 三角形 $\mathrm{ABD}$ と三角形 $\mathrm{AEC}$ を比べる。

• $\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{EAC}$(二等分線)。
• $\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{AEC}$(弧 $\mathrm{AC}$ に立つ円周角)。

$2$ 角が等しいので $△\mathrm{ABD}\sim △\mathrm{AEC}$。

② 辺の比。 対応する辺($\mathrm{AB}\leftrightarrow \mathrm{AE}$、$\mathrm{AD}\leftrightarrow \mathrm{AC}$)より $$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AE}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}.$$ ③ 積の等式。 たすきに掛けて $$\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}.$$

まとめ 二等分の等角と弧 $\mathrm{AC}$ の円周角で $△\mathrm{ABD}\sim △\mathrm{AEC}$、辺の比から $\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}$。角の二等分線・円周角(相似)の融合。積の等式は相似から、が定石。

発展 — 一歩先へ。 点 $\mathrm{D}$ の方べき $\mathrm{BD}\cdot \mathrm{DC}=\mathrm{AD}\cdot \mathrm{DE}$ と本問の等式を組むと、${\mathrm{AD}}^2=\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}-\mathrm{AD}\cdot \mathrm{DE}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}-\mathrm{BD}\cdot \mathrm{DC}$。角の二等分線の長さの公式が、方べきとの合わせ技で一行に落ちる。

別解

別解 — 全部を「弦 $=2R\sin$(円周角)」に翻訳する(得意な人向けの高い視点)。 外接円の半径を $R$、三角形の角を $A,B,C$ とする。弦の長さの公式で、登場する長さを片っ端から角に変える。

$\mathrm{AB}=2R\sin C$、$\mathrm{AC}=2R\sin B$。$\mathrm{AE}$ も弦だから、それを見込む円周角 $\angle \mathrm{ACE}=C+\frac{A}{2}$ を使って $\mathrm{AE}=2R\sin \left(C+\frac{A}{2}\right)$。

$\mathrm{AD}$ は三角形 $\mathrm{ABD}$ の正弦定理から。$\angle \mathrm{ADB}=\pi -B-\frac{A}{2}$ より $\mathrm{AD}=\frac{2R\sin C\sin B}{\sin \left(B+\frac{A}{2}\right)}$。

ここで $A+B+C=\pi$ から $C+\frac{A}{2}=\pi -\left(B+\frac{A}{2}\right)$、つまり $\sin \left(C+\frac{A}{2}\right)=\sin \left(B+\frac{A}{2}\right)$。掛けると分母が消えて

$$\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}=4R^2\sin B\sin C=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}.$$

相似(本解)が「角の等しさ」で示したことを、こちらは「$\sin$ の等しさ」で示している。同じ事実の、代数の顔だ。