接弦定理と三角形

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 接線と弦のなす角を見たら、接弦定理だ。「接線と弦 $\mathrm{AB}$ のなす角は、その弦が反対側に作る円周角 $\angle \mathrm{ACB}$ に等しい」。

だから $\angle \mathrm{ACB}=62^{\circ }$ が即座に手に入る。

あとは三角形の内角の和。$\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ }-73^{\circ }-62^{\circ }=45^{\circ }$ で仕上がる。

点 $\mathrm{A}$ での接線と弦 $\mathrm{AB}$ のなす角は、弦 $\mathrm{AB}$ を反対側の弧から見た円周角 $\angle \mathrm{ACB}$ に等しい。よって

$$\angle \mathrm{ACB}=62^{\circ }$$

あとは $△\mathrm{ABC}$ の内角の和 $180^{\circ }$ から

$$\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ }-\angle \mathrm{ABC}-\angle \mathrm{ACB}=180^{\circ }-73^{\circ }-62^{\circ }=45^{\circ }$$

発展 — 一歩先へ。 接弦定理は「円周角の定理の極限」と見ることもできる。弦 $\mathrm{AC}$ の $\mathrm{C}$ を $\mathrm{A}$ にどんどん近づけると、弦 $\mathrm{AC}$ は接線に近づき、円周角の定理がそのまま接弦定理の主張になだれ込む。

接弦定理の逆(角が等しければその直線は接線)は、接することの証明に使える。方べきの定理(接線と割線)の証明でも、接弦定理が相似を作る鍵として働く。次の問題でその共演が見られる。

別解

接弦定理を忘れたときのために、「中心を経由する」導き直しの道を知っておくとよい。

円の中心を $\mathrm{O}$ とする。接線は接点で半径と直角に交わるから、$\angle \mathrm{OAB}=90^{\circ }-62^{\circ }=28^{\circ }$。

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$(半径)の二等辺三角形 $\mathrm{OAB}$ で、頂角は

$$\angle \mathrm{AOB}=180^{\circ }-2\times 28^{\circ }=124^{\circ }$$

これは弦 $\mathrm{AB}$ の中心角だから、円周角はその半分で $\angle \mathrm{ACB}=62^{\circ }$。接弦定理と同じ値が、半径の直角と二等辺三角形だけから出てきた。

実はこれこそが接弦定理の証明である。「接線が出てきたら半径との直角を書き込む」は、接弦定理・接線の長さ・方べきのすべてに通じる、円の問題の第一の反射だ。