メネラウスの定理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 チェバとの違いは、直線が三角形を「横切る」こと。$3$ 点のうち $1$ つ($\mathrm{D}$)が辺の延長上にある。この形はメネラウスの定理だ。

$$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1$$

チェバとまったく同じ「一周する」形をしている。

$$\mathrm{A}\to \mathrm{F}\to \mathrm{B}\to \mathrm{D}\to \mathrm{C}\to \mathrm{E}\to \mathrm{A}$$

頂点 → 分点 → 頂点 → 分点 $\dots$ と交互に、$\mathrm{A}$ から出発して $\mathrm{A}$ に戻る。 この道順で書けば、比の向きを間違えない。

代入して解く。

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{1}{3}=1⟹\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=6$$

チェバと形はそっくりだが、こちらは「1本の直線が横切る」ときの式だ。頂点 $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}$ と一周する順に、途中の分点で比をとってかける。

分かっている値を入れる。$\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=\frac{1}{2}$、$\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{1}{3}$ なので

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{1}{3}=1$$

数の部分をまとめると $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ だから

$$\frac{1}{6}\cdot \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=1\Rightarrow \frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}=6$$

よって $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=6:1$。

発展 — 一歩先へ。 チェバとメネラウスは、双子の定理である。どちらも積が $1$ になり、一周する形も同じ。なぜこんなに似ているのか。

答えは「符号つきの比」で考えると見えてくる。線分の比に向きの符号($\mathrm{B}$ から $\mathrm{C}$ へ進む向きを正、逆を負)をつけると

• チェバ(すべて内分): 符号つきの積 $=+1$
• メネラウス($1$ 点が外分): 符号つきの積 $=-1$

符号だけが違う。 外分点が $1$ つ(または $3$ つ)あると、比が負になって積の符号が反転するのだ。

$$\text{チェバ}:+1,\text{メネラウス}:-1$$

$2$ つの定理は、$1$ つの式の $2$ つの顔だった。

この見方は射影幾何学という分野につながる。そこでは「点と直線」「交わると結ぶ」が対等に扱われ($\mathbf{双対性}$)、チェバとメネラウスは互いの双対として、$1$ 枚のコインの裏表になる。

似ている定理を見たら、「なぜ似ているのか」を問う。 そこに、より深い構造が隠れている — 数学の進歩は、いつもこの問いから生まれてきた。

別解

公式が不安なら、座標を置いて確かめられる。 「疑わしきは計算せよ」— 幾何の答えを、代数で検算する技を身につけよう。

座標を、計算しやすいように置く。

$$\mathrm{A}(0,0),\mathrm{B}(6,0),\mathrm{C}(1,6)$$

(どんな三角形で試してもよい。 比の関係は三角形の形によらないからだ。原点と $x$ 軸を使うと計算が軽くなる。)

分点の座標を出す。

$\mathrm{F}$ は $\mathrm{AB}$ を $\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=1:2$ に分ける点。

$$\mathrm{F}=\left(\frac{2\cdot 0+1\cdot 6}{3},0\right)=(2,0)$$

$\mathrm{E}$ は $\mathrm{CA}$ を $\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=1:3$ に分ける点($\mathrm{C}$ から測る)。

$$\mathrm{E}=\left(\frac{3\cdot 1+1\cdot 0}{4},\frac{3\cdot 6+1\cdot 0}{4}\right)=\left(\frac{3}{4},\frac{18}{4}\right)=(0.75,4.5)$$

直線 $\mathrm{FE}$ と、直線 $\mathrm{BC}$ の交点 $\mathrm{D}$ を求める。

直線 $\mathrm{FE}$: $\mathrm{F}(2,0)$ と $\mathrm{E}(0.75,4.5)$ を通るので、傾きは $\frac{4.5-0}{0.75-2}=-3.6$。

$$y=-3.6(x-2)$$

直線 $\mathrm{BC}$: $\mathrm{B}(6,0)$ と $\mathrm{C}(1,6)$ を通るので、傾きは $\frac{6-0}{1-6}=-1.2$。

$$y=-1.2(x-6)$$

連立して解くと

$$-3.6(x-2)=-1.2(x-6)⟹-3.6x+7.2=-1.2x+7.2⟹x=0$$

$x=0$ を代入して $y=7.2$。交点は $\mathrm{D}(0,7.2)$。

$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$ を計算する。 $\mathrm{B}(6,0)$、$\mathrm{C}(1,6)$、$\mathrm{D}(0,7.2)$ は一直線上にあるので、$x$ 座標の差だけ見れば比が出る。

$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=|6-0|:|0-1|=6:1$$

メネラウスの定理の答えと、ぴったり一致した ✓。

この検算の価値。 メネラウスの比の向きは間違えやすい。答えに自信がないとき、座標で $1$ 回確かめれば白黒がつく。 試験中に $5$ 分かけてでも、間違いに気づけるなら安い。

そして図の理解が深まる。 計算してみると、$\mathrm{D}$ は $\mathrm{C}$ を越えたずっと外側($x=0$)にあると分かる。$\mathrm{D}$ は線分 $\mathrm{BC}$ の内部ではなく、延長上にいる — メネラウス型の特徴が、座標にはっきり現れている。

チェバとメネラウスの見分け方を、最後に整理しておく。

• チェバ: $3$ 本の線が $1$ 点で交わる。$3$ 分点はすべて辺の上(内部)
• メネラウス: $1$ 本の直線が三角形を横切る。$3$ 分点のうち $1$ つ(または $3$ つ)が辺の外(延長上)

どちらも積が $1$ になり、しりとりの向きも同じ。 違うのは「線が $3$ 本か $1$ 本か」「点が内か外か」だけである。図を見て、どちらの状況かを判定する — それが最初の一手だ。