角の二等分線の長さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は二等分線が辺を $AB:AC$ に分ける定理を使う。(2)は二等分線の長さの公式を使う。小問ごとに道具が階段状に上がる。

長さの公式は $A{D}^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC$ という形をしている。まず(1)で $BD,DC$ を求める。

それを部品として(2)の公式に入れる。この依存関係を先に設計してから計算に入る。

(1) 二等分線は $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=8:6=4:3$ に分ける。$\mathrm{BC}=7$ を配分して

$$\mathrm{BD}=7\times \frac{4}{4+3}=7\times \frac{4}{7}=4$$

ついでに $\mathrm{DC}=7-4=3$。

(2) 公式に入れる。

$${\mathrm{AD}}^2=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}-\mathrm{BD}\cdot \mathrm{DC}=8\times 6-4\times 3=48-12=36$$

$$\mathrm{AD}=\sqrt{36}=6$$

発展 — 一歩先へ。 二等分線の長さの公式は、任意のチェバ線に成り立つスチュワートの定理の特別な場合だ。$\mathrm{BC}$ 上の点 $\mathrm{D}$($\mathrm{BD}=m$、$\mathrm{DC}=n$、$\mathrm{BC}=a=m+n$)への線分 $\mathrm{AD}$ について、${\mathrm{AD}}^2=\frac{{\mathrm{AB}}^{2}n+{\mathrm{AC}}^{2}m}{a}-mn$ が一般に成り立つ。

$\mathrm{D}$ が二等分線の足なら $m:n=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$ で、この式が ${\mathrm{AD}}^2=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}-mn$ に簡約される。$\mathrm{D}$ が中点なら $m=n$ で、中線の長さ ${\mathrm{AD}}^2=\frac{2{\mathrm{AB}}^2+2{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{4}$ になる。$1$ つの定理から、二等分線も中線もまとめて出る。

別解

別解 — 余弦定理を $2$ 回使って $\mathrm{AD}$ を出す(得意な人向けの三角比の視点)。 長さの公式を覚えていなくても、角度をはさんで計算できる。

まず(1)と同じく $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=4:3$ から $\mathrm{BD}=4$、$\mathrm{DC}=3$。

三角形 $\mathrm{ABC}$ で頂点 $\mathrm{B}$ の余弦を余弦定理で求める。

$$\cos \mathrm{B}=\frac{{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{AC}}^2}{2\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{AB}}=\frac{49+64-36}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{77}{112}=\frac{11}{16}.$$

次に三角形 $\mathrm{ABD}$ で、同じ角 $\mathrm{B}$ をはさんで $\mathrm{AB}=8$、$\mathrm{BD}=4$ から余弦定理。

$${\mathrm{AD}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BD}}^2-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BD}\cos \mathrm{B}=64+16-2\cdot 8\cdot 4\cdot \frac{11}{16}=80-44=36.$$

よって $\mathrm{AD}=6$。二等分線の長さの公式を使わず、余弦定理だけで本解と同じ $\mathrm{AD}=6$ に着く。