方べきの定理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 本の弦が円の中で交わっている — 方べきの定理の出番だ。

$$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$$

「同じ弦の $2$ 本を掛ける。それが、もう $1$ 本の弦でも同じ値になる」。

$$2\times 6=3\times \mathrm{PD}⟹12=3\mathrm{PD}⟹\mathrm{PD}=4$$

掛ける相手を間違えないこと。 $\mathrm{PA}$ と $\mathrm{PB}$ は同じ弦 $\mathrm{AB}$ の上にある $2$ 本。$\mathrm{PC}$ と $\mathrm{PD}$ は弦 $\mathrm{CD}$ の上の $2$ 本。$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PC}$ のように、違う弦どうしを掛けてはいけない。

$1$ つの点 $\mathrm{P}$ から見て、どの弦を通っても「積」が同じ — この不変性が、方べきの定理の心臓部である。

交点 $\mathrm{P}$ から両側に測った長さのかけ算が、2本の弦で等しくなる。式にすると

$$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$$

数を入れる。

$$2\times 6=3\times \mathrm{PD}$$

左は $12$ なので

$$12=3\mathrm{PD}\Rightarrow \mathrm{PD}=4$$

発展 — 一歩先へ。 方べきの定理も、逆が成り立つ。

$$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}⟹\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}\text{は同一円周上}$$

長さの積を計算するだけで、$4$ 点が共円だと証明できる。 角度を測る必要すらない — これは強力だ。

さらに、方べきは数IIの「円の方程式」と直結する。 円 $x^2+y^2=r^2$ と点 $\mathrm{P}(a,b)$ について

$$(\text{方べき})=a^2+b^2-r^2$$

符号にも意味がある。

• 正($a^2+b^2>r^2$)→ $\mathrm{P}$ は円の外
• $0$ → $\mathrm{P}$ は円周上
• 負 → $\mathrm{P}$ は円の内

$1$ つの式の符号が、点と円の位置関係を完全に語る。

そして、$2$ つの円について「方べきが等しい点の集まり」を考えると、直線になる。これを根軸という($2$ 円が交わるなら、その共通弦を延長した直線だ)。数IIの「$2$ 円の方程式を引き算する」という計算は、まさにこの根軸を求めている。

幾何(長さの積)と代数(円の方程式)が、方べきという $1$ つの量で結ばれている。 別々に見えた $2$ つの単元が、実は同じものを違う言葉で語っていた — 数学を学び進めると、こういう再会が何度も訪れる。

別解

方べきの定理の正体は、相似である。 証明を追えば、なぜ「積」という形になるのかが分かる。

$△\mathrm{PAC}$ と $△\mathrm{PDB}$ を見比べる。(対応する頂点の順番に注意 — $\mathrm{A}$ と $\mathrm{D}$、$\mathrm{C}$ と $\mathrm{B}$ が対応する。)

$2$ 組の角が等しいことを示す。

$1$ 組目: 対頂角。

$$\angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{DPB}$$

($2$ 本の直線が交わってできる対頂角だから、当然等しい。)

$2$ 組目: 円周角。

$$\angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{CAB},\angle \mathrm{PDB}=\angle \mathrm{CDB}$$

この $2$ つは、どちらも弧 $\mathrm{CB}$ に対する円周角である。だから等しい。

$$\angle \mathrm{PAC}=\angle \mathrm{PDB}$$

$2$ 角が等しいので、相似。

$$△\mathrm{PAC}\sim △\mathrm{PDB}$$

相似なら、対応する辺の比が等しい。

$$\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PD}}=\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PB}}$$

たすきに掛ける(内項の積 $=$ 外項の積)。

$$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$$

方べきの定理が証明された。 「積」の形が出てくるのは、比例式をたすきに掛けたからだったのだ。

円周角の定理が、離れた $2$ つの三角形を相似で結んでいる — 円の力である。

方べきの定理には $3$ つの型がある。 どれも同じ「積が一定」だが、点 $\mathrm{P}$ の位置が違う。

型1(この問題): $\mathrm{P}$ が円の内部。 $2$ 本の弦が交わる。

$$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}$$

型2: $\mathrm{P}$ が円の外部。 $2$ 本の割線を引く(円を $2$ 回ずつ横切る)。式の形はまったく同じ。

型3: $\mathrm{P}$ が円の外部で、片方が接線。 接線の長さを $\mathrm{PT}$ とすると

$${\mathrm{PT}}^2=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$$

接線のときだけ $2$ 乗になる — なぜか。接線は「$2$ つの交点が重なった割線」だから、$\mathrm{PT}\cdot \mathrm{PT}$ になるのだ。極限で $2$ 点が $1$ 点に融合する — 接弦定理と同じ発想である。

$3$ つの型を、別々の公式として覚えてはいけない。 すべて「点 $\mathrm{P}$ から円へ引いた直線の、$2$ つの交点までの距離の積は一定」という $1$ つの事実の顔違いだ。

この一定値を"方べき"という。 中心からの距離を $d$、半径を $r$ とすると、方べきの値は $|d^2-r^2|$ に等しい — 点と円の位置関係を測る量なのである。