方べきの定理(接線と割線)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 外の点から接線と割線。この配置の方べきの定理は ${\mathrm{PT}}^2=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$ だ。

接線側が2乗になる。「接線は、割線の2交点が1点に重なった特別な場合」と考えると、$\mathrm{PT}\cdot \mathrm{PT}$ の形で自然に覚えられる。

${\mathrm{PT}}^2=3\times 12=36$ で $\mathrm{PT}=6$。(2)の $\mathrm{AB}$ は、割線上の引き算 $\mathrm{PB}-\mathrm{PA}$ だ。

(1) 定理に数を入れる。

$${\mathrm{PT}}^2=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=3\times 12=36$$

$$\mathrm{PT}=\sqrt{36}=6$$

(2) $\mathrm{A}$ は $\mathrm{P}$ に近いほう、$\mathrm{B}$ は遠いほうで、$\mathrm{P}$、$\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ はこの順に一直線上にある。だから

$$\mathrm{AB}=\mathrm{PB}-\mathrm{PA}=12-3=9$$

発展 — 一歩先へ。 点 $\mathrm{P}$ を固定すると、どの割線を引いても $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$ の値は同じになる(それが「方べき」の名の由来だ)。この一定値は、中心との距離 $d$ と半径 $r$ で $d^2-r^2$ と書ける。接線の場合 ${\mathrm{PT}}^2=d^2-r^2$ は三平方の定理そのものだ。

「方べき=$d^2-r^2$」という座標寄りの見方は、数学IIの円の方程式(円の外・内の判定)や、2円の根軸の話へまっすぐつながる。

別解

定理の中身は「相似」だ。素手で導くと、2乗になる理由が見える。

$△\mathrm{PTA}$ と $△\mathrm{PBT}$ を見比べる。$\angle \mathrm{P}$ は共通。そして接弦定理から、$\angle \mathrm{PTA}$(接線と弦 $\mathrm{TA}$ のなす角)は円周角 $\angle \mathrm{PBT}$ に等しい。

2角が等しいから $△\mathrm{PTA}\backsim △\mathrm{PBT}$。対応する辺の比をとると

$$\frac{\mathrm{PT}}{\mathrm{PA}}=\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{PT}}$$

分母を払えば ${\mathrm{PT}}^2=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$。数値では $\frac{6}{3}=\frac{12}{6}=2$ で、相似比 $2$ の三角形が入れ子になっている。

方べきの定理は3つの型(2弦・2割線・接線と割線)があるが、どれも正体は「相似な三角形のペア」である。忘れたら相似を探せばよい。