正十二面体とオイラーの多面体定理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 正多面体の $V,E,F$ は、「面あたりの数」を数えて重複で割ると求まる。

面は正五角形 $12$ 枚だから $F=12$。1枚は $5$ 辺だが、各辺は2枚の面で共有されるので、辺は $\frac{12\times 5}{2}$。1枚は $5$ 頂点だが、正十二面体では各頂点に3枚の面が集まるので、頂点は $\frac{12\times 5}{3}$。

最後にオイラーの式で検算する。

① 面。 正五角形が $12$ 枚だから

$$F=12$$

② 辺。 各面は $5$ 辺、各辺は $2$ 面に共有されるので

$$E=\frac{12\times 5}{2}=30$$

③ 頂点。 各面は $5$ 頂点、各頂点には $3$ 面が集まるので

$$V=\frac{12\times 5}{3}=20$$

④ 検算。

$$V-E+F=20-30+12=2$$

確かにオイラーの多面体定理が成り立つ。

まとめ: 「面 $\times$ 面あたりの要素 $÷$ 共有数」で $E,V$ を数える。辺は2面共有で $÷2$、頂点は3面が集まるので $÷3$。数えた $V,E,F$ がオイラーの式を満たすことで、正しさが確認できる。

発展 — 一歩先へ。 面が正 $p$ 角形で、各頂点に $q$ 面が集まる正多面体が存在する条件は、頂点まわりの角度の余りから $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}>\frac{1}{2}$。$p,q\ge 3$ の整数解はちょうど5組しかない。正多面体が5種類で打ち止めになる理由が、この小さな不等式に書いてある。

別解

双対の正二十面体で照合する(得意な人向け)。 正十二面体の各面の中心を頂点として結ぶと、正二十面体(正三角形20枚)ができる。面と頂点が入れ替わる、この関係を双対という。

正二十面体を同じ方法で数えてみる。$F^{\prime }=20$。各面は3辺で2面共有だから $E^{\prime }=\frac{20\times 3}{2}=30$。各頂点には5枚が集まるから $V^{\prime }=\frac{20\times 3}{5}=12$。

並べて見ると

• 正十二面体: $V=20,E=30,F=12$
• 正二十面体: $V^{\prime }=12,E^{\prime }=30,F^{\prime }=20$

$V$ と $F$ がそっくり入れ替わり、$E$ は共通。双対の理屈どおりだ。片方を数えれば、もう片方は「ひっくり返すだけ」で検算できる。立方体($V=8,F=6$)と正八面体($V=6,F=8$)にも同じ対がある。