2本のチェバ線と面積比

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 本のチェバ線 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{AD}$ をどう分けるか。これはメネラウスの定理の出番だ。

三角形 $\mathrm{ADC}$ に直線 $\mathrm{BE}$($\mathrm{B},\mathrm{P},\mathrm{E}$ が乗る)を横切らせる。メネラウスの定理で $\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1$。

既知の比 $\mathrm{DB}:\mathrm{BC}$、$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}$ を入れると $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=1:2$。面積は、$\mathrm{P}$ が $\mathrm{AD}$ を $1:2$ に分けることから高さの比で $△\mathrm{PBC}=\frac{2}{3}△\mathrm{ABC}$。

① $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$ をメネラウスで。 三角形 $\mathrm{ADC}$ を直線 $\mathrm{BPE}$ が切ると考える(頂点 $\mathrm{A}\to \mathrm{D}\to \mathrm{C}$ を一周)。辺 $\mathrm{AD}$ 上に $\mathrm{P}$、辺 $\mathrm{DC}$ の延長上に $\mathrm{B}$、辺 $\mathrm{CA}$ 上に $\mathrm{E}$。

$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1$$

$\mathrm{DB}:\mathrm{BC}$ は、$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:1$ より $\mathrm{DB}=2,\mathrm{BC}=3$(向きに注意)だから $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{BC}}=\frac{2}{3}$。$\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{3}{1}$。よって

$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{1}=1⟹\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PD}}=\frac{1}{2}$$

すなわち $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=1:2$。

② 面積比。 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{AD}$ を $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=1:2$ に分けるから、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{D}$(辺 $\mathrm{BC}$ 上)寄り。$△\mathrm{ABC}$ と $△\mathrm{PBC}$ は底辺 $\mathrm{BC}$ が共通で、高さの比は $\mathrm{A}$ と $\mathrm{P}$ の $\mathrm{BC}$ からの距離の比。$\mathrm{A}$ の高さを $1$ とすると、$\mathrm{P}$ は $\mathrm{AD}$ を $1:2$ に分けるので $\mathrm{D}$($\mathrm{BC}$ 上、高さ $0$)から測って高さ $\frac{2}{3}$。よって

$$△\mathrm{PBC}=\frac{2}{3}△\mathrm{ABC}$$

まとめ:$2$ 本のチェバ線の交点比は「片方の線を三角形の辺、もう片方を横切る直線」とみてメネラウス。面積は、交点が底辺からどれだけの高さかに翻訳する。$\mathrm{P}$ が $\mathrm{AD}$ を $1:2$ に分ける($\mathrm{D}$ 寄り)ので、$△\mathrm{PBC}$ は $△\mathrm{ABC}$ の $\frac{2}{3}$。

発展 — 一歩先へ。 チェバ線が $1$ 点で交わるかは、チェバの定理 $\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$ で判定。交点が線分をどう分けるか(本問の $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$)はメネラウスや質点法で出る。質点(重み)を頂点に置く方法は、$3$ 本以上のチェバ線でも比を暗算でき、物理の重心と数学の分点を橋渡しする。

別解

別解 — 質点(重み)を置いて比を一気に出す(得意な人向けの高い視点)。 チェバ線の交点の比は、頂点に“重り”を置く方法で暗算できる。

$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:1$ を釣り合わせるには、$\mathrm{B}$ に重り $1$、$\mathrm{C}$ に重り $2$($\mathrm{D}$ で釣り合う)。$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=3:1$ を釣り合わせるには、$\mathrm{C}$ に重り $1$、$\mathrm{A}$ に重り $3$。

$\mathrm{C}$ の重りを両方の条件で揃える。$1$ 本目で $\mathrm{C}=2$、$2$ 本目で $\mathrm{C}=1$ だから、$2$ 本目を $2$ 倍して $\mathrm{C}=2,\mathrm{A}=6$。まとめると $\mathrm{A}=6,\mathrm{B}=1,\mathrm{C}=2$。

$\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}$(重り $6$)と $\mathrm{D}$(重り $\mathrm{B}+\mathrm{C}=3$)の釣り合う点。$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=(\text{D側の重り}):(\text{A側の重り})=3:6=1:2$。

面積は、$\mathrm{P}$ が $\mathrm{AD}$ を $1:2$ に分けるので、$\mathrm{P}$ から $\mathrm{BC}$ までの高さは $\mathrm{A}$ から $\mathrm{BC}$ までの $\frac{2}{3}$。$△\mathrm{PBC}=\frac{2}{3}△\mathrm{ABC}$。メネラウス(本解)を使わず、「重りで釣り合わせる」と比が計算なしで出る。物理の重心の発想が幾何の比を暴く。