外接する2円の共通接線の長さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ つの中心と $2$ つの接点で台形ができる。共通外接線は両方の半径に垂直だから、$2$ 本の半径は平行(どちらも接線に垂直)。

小円の中心から、大円の半径に平行な補助線を引く。すると直角三角形ができる。

斜辺は中心間距離 $4+9=13$(外接だから半径の和)。直角をはさむ $1$ 辺は半径の差 $9-4=5$(平行線の間の“段差”)。残りの辺が求める接点間の長さで、三平方から $\sqrt{13^2-5^2}=12$。

① 中心間距離。 $2$ 円は外接しているので、中心間の距離は半径の和 $4+9=13$。

② 直角三角形を作る。 小円の中心 ${\mathrm{O}}_1$ から、大円の半径 ${\mathrm{O}}_2{\mathrm{T}}_2$ に平行な線を引き、${\mathrm{O}}_2{\mathrm{T}}_2$ 上の点 $\mathrm{H}$ で交わるとする。四角形 ${\mathrm{O}}_1{\mathrm{T}}_1{\mathrm{T}}_2\mathrm{H}$ は長方形だから ${\mathrm{O}}_1{\mathrm{T}}_1=\mathrm{H}{\mathrm{T}}_2=4$、${\mathrm{T}}_1{\mathrm{T}}_2={\mathrm{O}}_1\mathrm{H}$。三角形 ${\mathrm{O}}_1\mathrm{H}{\mathrm{O}}_2$ は直角三角形で、斜辺 ${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2=13$、${\mathrm{O}}_2\mathrm{H}={\mathrm{O}}_2{\mathrm{T}}_2-\mathrm{H}{\mathrm{T}}_2=9-4=5$。

③ 三平方。

$${\mathrm{T}}_1{\mathrm{T}}_2={\mathrm{O}}_1\mathrm{H}=\sqrt{{{\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2}^2-{{\mathrm{O}}_2\mathrm{H}}^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

まとめ:共通外接線の接点間の長さは「$\sqrt{(\text{中心間}{)}^2-(\text{半径の差}{)}^2}$」。半径が平行になることから直角三角形を作るのが要。外接だから中心間 $=$ 半径の和 $13$、半径の差 $5$ で、$13$-$5$-$12$ の直角三角形になった。

発展 — 一歩先へ。 $2$ 円の共通接線の接点間の長さは、外接線が $\sqrt{d^2-(r_1-r_2{)}^2}$、内接線が $\sqrt{d^2-(r_1+r_2{)}^2}$($d$ は中心間距離)。内接線が存在するのは $d>r_1+r_2$(離れている)とき。$2$ 円の位置関係(離れる・外接・交わる・内接・含む)が、この根号の中身の符号で分類できる。

別解

別解 — $2$ 円の位置を座標に置いて接点間を測る(計算で確実なルート)。 小円の中心を原点 $(0,0)$(半径 $4$)、大円の中心を $(13,0)$(半径 $9$、外接なので中心間 $4+9=13$)に置く。

共通外接線は、両円に同じ側で接する直線 $y=mx+c$。両中心からの距離がそれぞれ半径に等しい: $\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=4$、$\frac{|13m+c|}{\sqrt{m^2+1}}=9$。

$2$ 式から接線の傾きと切片が定まり、$2$ つの接点の座標が出る。その距離を計算すると $12$。

もっと簡単には、接点間の線分・$2$ 本の半径・中心間の線分が作る直角台形で、接点間の長さ $\ell$ は ${\ell }^2+(r_2-r_1{)}^2=d^2$(中心間距離 $d$、半径差 $r_2-r_1$)。

$$\ell =\sqrt{d^2-(r_2-r_1{)}^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12.$$

補助線で直角三角形を作る本解と同じ公式 $\ell =\sqrt{d^2-(r_2-r_1{)}^2}$ に着く。共通外接線は「半径の差」、共通内接線は「半径の和」がはさむ辺になる、と対で覚えるとよい。